Vectores posición velocidad aceleración – Ecuaciones paramétricas

Enunciado:
Las ecuaciones paramétricas (expresadas en m) de la trayectoria de una partícula vienen dadas por:

x(t) = 3t
y(t) = 4t2

  1. Escribir el vector de posición de la partícula en términos de sus vectores constituyentes.
  2. Calcular el vector velocidad de la partícula y su módulo.
  3. Determinar la ecuación de la trayectoria y(x).
  4. Calcular un vector unitario tangente a la trayectoria en cada punto.
  5. Determinar el vector aceleración de la partícula.

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Solución:

El vector de posición de la partícula viene dado por:

Donde los vectores i y j son los vectores unitarios que definen el sentido positivo de los ejes x e y respectivamente. Como el vector de posición no tiene componente z, la partícula describe una trayectoria plana.


El vector velocidad de la partícula viene dado por:

Y su módulo:


Para determinar la ecuación de la trayectoria despejamos el tiempo de x(t) y lo sustituimos en y(t). De este modo obtendremos y(x).

En la siguiente figura está representada la ecuación de la trayectoria, que es una parábola.


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En la siguiente figura puedes observar los tres vectores (r, v y a) que permiten describir el movimiento de una partícula en una situación cualquiera.

Para calcular un vector unitario tangente a la trayectoria en cada punto, ut, partimos del vector velocidad. En cualquier movimiento, el vector velocidad es siempre tangente a la trayectoria en cada punto.

Para hallar el vector ut, lo que debemos hacer entonces es transformar el vector velocidad en uno paralelo a él pero que tenga módulo 1. Y esto se consigue dividiendo el vector velocidad por su módulo:

Este vector unitario depende del tiempo porque, aunque su módulo siempre es la unidad, su dirección varía dependiendo del tiempo en una trayectoria curvilínea.


El vector aceleración se define:

Por tanto, derivando el vector velocidad:

El vector aceleración no depende del tiempo; por tanto el movimiento de la partícula es uniformemente acelerado.

Recuerda poner las unidades en los resultados de los problemas.

La página Vectores posición velocidad aceleración – Ecuaciones paramétricas ha sido originalmente publicada en YouPhysics