Un niño chuta un balón desde lo alto de un acantilado que tiene anchura x0 = 10 m y altura y0 = 15 m con respecto al sistema de referencia O representado en la figura. La velocidad inicial del balón tiene módulo v0 = 15 m/s y forma un ángulo α = 300 con la horizontal.
- Calcular los vectores de posición, velocidad y aceleración del balón en función del tiempo con respecto al sistema de referencia con origen en O.
- Escribir los mismos vectores con respecto a un sistema de referencia O’ que se encuentra en la posición del niño (ver figura).
- Calcular el tiempo que tarda el balón en llegar al suelo para cada uno de los dos observadores.
Solución:
En este problema vamos a ver cómo expresar los vectores que describen el movimiento de un objeto con respecto a distintos sistemas de referencia.
Con respecto a O, el vector de posición inicial del balón es:
Y su vector velocidad inicial:
Y sustituyendo los datos del problema:
Para ver una discusión más detallada de cómo se expresa el vector velocidad en función de sus vectores constituyentes puedes consultar el Problema 6.
El vector aceleración del balón viene dado por:
A continuación vamos a utilizar la definición de vector aceleración para calcular el vector velocidad del balón en función del tiempo.
Puedes consultar el Problema 1 para ver cómo se eligen los extremos de las integrales que aparecen en la ecuación anterior.
Para calcular el vector de posición en función del tiempo utilizamos la definición de vector velocidad:
Y utilizando el vector velocidad calculado anteriormente:
Por último sustituimos el valor del vector de posición inicial del balón y agrupamos:
Y podemos escribir por separado las componentes del vector de posición:
Con respecto a O’ el vector de posición inicial r0 es cero, ya que el origen del sistema de referencia se encuentra en este caso en la misma posición que ocupa el balón inicialmente.
El vector velocidad inicial del balón es el mismo que con respecto a O.
Volviendo a integrar el vector aceleración y el vector velocidad obtenemos los vectores v y r en función del tiempo con respecto a O’.
Podemos expresar por separado las componentes de este último:
El tiempo que el balón está en el aire con respecto a O se calcula igualando a cero la coordenada y del movimiento de balón dada por la ecuación (2):
Para calcular el tiempo que está el balón en el aire con respecto a O’ debemos utilizar la ecuación (4). Pero en este caso, la coordenada y’ será:
Ya que, con respecto a O’, el suelo se encuentra a una distancia y0 en el sentido negativo del eje y.
Utilizando la ecuación (4) y hallando las raíces del polinomio:
Como puedes observar, el tiempo que está el balón en el aire es el mismo para ambos sistemas del referencia.
No olvides poner las unidades en los resultados de los problemas.
La página Vectores posición velocidad aceleración – Cambio de sistema de referencia ha sido originalmente publicada en YouPhysics
