Vecteurs position vitesse accélération - Changement de référentiel

Énoncé:

Un enfant tire dans un ballon depuis le haut d’une falaise à la position x0 = 10 m et y0 = 15 m par rapport au référentiel O représenté dans la figure. Le vecteur vitesse initiale du ballon a une norme v0 = 15 m/s et fait un angle de α = 300 avec l’horizontale.

Vecteurs position vitesse accélération - Changement de référentiel

 

  1. Calculez les vecteurs position, vitesse et accélération du ballon en fonction du temps para rapport au référentiel centré en O.
  2. Écrivez ces même vecteurs par rapport au référentiel centré à la position de l’enfant en O’ (voir la figure).
  3. Calculez le temps que met le ballon pour arriver au sol pour chacun des deux observateurs.

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Solution:

Dans ce problème nous allons voir comment exprimer les vecteurs qui décrivent le mouvement d’un objet par rapport à deux référentiels différents.

Par rapport à O, le vecteur position initiale du ballon est:

Et son vecteur vitesse initiale est:

En substituant avec les données du problème:

Vous pouvez voir en détail comment décrire le vecteur vitesse en fonction de ses vecteurs constituants dans le Problème 6.

Le vecteur accélération du ballon est décrit par:

Nous allons maintenant utiliser la définition du vecteur accélération pour calculer le vecteur vitesse du ballon en fonction du temps.

Consultez le Problème 1 si vous souhaitez voir comment l’on choisit les bornes des intégrales qui apparaissent dans l’équation précédente.

Pour calculer le vecteur position en fonction du temps nous utilisons la définition du vecteur vitesse:

Et en utilisant le vecteur vitesse calculé précédemment:

Finalement nous substituons le vecteur position initiale du ballon et nous regroupons les termes:

Nous pouvons écrire séparément les composantes du vecteur position:


Dans le référentiel O’ le vecteur position initiale r0 est le vecteur nul, car l’origine de ce référentiel est la position occupée par le ballon initialement.

Le vecteur vitesse initiale du ballon est le même que dans le référentiel O.

En intégrant une nouvelle fois le vecteur accélération et le vecteur vitesse nous obtenons les vecteurs v et r en fonction du temps dans le référentiel O’.

Nous pouvons exprimer séparément les composantes de ce dernier:


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Pour calculer le temps que le ballon met pour arriver au sol dans le référentiel O nous remplaçons la coordonnée y de la position du ballon par 0 dans l’équation (2):

Pour calculer le temps que le ballon met pour arriver au sol dans le référentiel O’ nous utilisons l’équation (4). Mais cette fois-ci la coordonnée y’ de la position du ballon sera:

Car, dans le référentiel O’, le sol se trouve à une distance y0 dans le sens négatif de l’axe y.

En utilisant l’équation (4) et en cherchant les racines du polynôme on déduit:

Comme vous pouvez le constater, le temps que met le ballon pour arriver au sol est le même dans les deux référentiel.

N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes.

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