Vecteurs position vitesse accélération - Conditions initiales

Énoncé:

Une particule se trouve initialement à la position r0 = 3i + 2 (m) et a une accélération a = -10j (m/s2). Sa vitesse initiale est v0 = 2i + 2 (m/s). Déterminez les vecteurs position, vitesse et accélération de la particule en fonction du temps. Écrivez l’équation de la trajectoire d’une particule sous la forme y(x).

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Solution:

Dans un premier temps, nous allons dessiner les conditions initiales et le repère cartésien que nous utiliserons pour résoudre le problème.

Vecteurs position vitesse accélération - Conditions initiales

Le vecteur accélération de la particule (il n’est pas à l’échelle dans la figure) pointe vers le sens négatif de l’axe vertical.

Observez que nous avons déplacé le repère jusqu’à l’extrémité du vecteur position r0 , où se trouve la particule à l’instant initial, afin de dessiner son vecteur vitesse initiale v0 (en couleur magenta).

Le vecteur accélération de la particule est constant et c’est l’une des données du problème:


Pour calculer le vecteur vitesse nous utilisons la définition du vecteur accélération et nous intégrons:

Si vous souhaitez voir en détail comment l’on choisit les bornes de l’intégrale, vous pouvez consulter le Problème 1.

Nous intégrons les deux membres:

et nous regroupons les termes:

Nous pouvons aussi exprimer séparément chacune des composantes du vecteur vitesse:

Les deux notations utilisées pour décrire le vecteur vitesse sont équivalentes, dans la première le vecteur s’écrit à partir de la somme de ses vecteurs constituants et dans la seconde à partir de ses composantes. La première forme est la plus habituelle en physique.


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Pour calculer le vecteur position nous commençons avec la définition du vecteur vitesse puis nous intégrons en utilisant l’expression du vecteur vitesse que nous venons de calculer:

Et nous substituons le vecteur position initiale:


Pour écrire l’équation de la trajectoire sous la forme y(x), nous écrivons tout d’abord le vecteur position avec ses composantes (forme paramétrique):

Nous isolons la variable t de la première équation et nous la substituons dans la seconde:

et nous réduisons l’équation:

La particule décrit par conséquent un mouvement parabolique. La représentation graphique de la parabole est ci-dessous.

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