Vecteurs position vitesse accélération - Équations paramétriques

Énoncé:
Les équations paramétriques (exprimées en m) de la trajectoire d’une particule sont les suivantes:

x(t) = 3t
y(t) = 4t2

  1. Écrivez le vecteur position de la particule à partir de ses vecteurs constitutifs.
  2. Calculez le vecteur vitesse de la particule et sa norme.
  3. Déterminez l’équation de la trajectoire y(x).
  4. Calculez un vecteur unitaire tangent à la trajectoire en chaque point.
  5. Déterminez le vecteur accélération de la particule.

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Solution:

Le vecteur position de la particule est donné par:

Où les vecteurs i et j sont les vecteurs unitaires qui définissent le sens positif des axes x et y respectivement. Comme le vecteur position n’a pas de composante z, la particule décrit une trajectoire plane.


Le vecteur vitesse de la particule est donné par:

Et sa norme:


Pour déterminer l’équation de la trajectoire nous isolons l’expression de t à partir de x(t) et nous la substituons dans y(t) afin d’obtenir y(x).

La figure suivante représente graphiquement l’équation de la trajectoire, qui est une parabole.


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Dans la figure suivante nous pouvons observer les trois vecteurs (r, v et a) qui permettent de décrire le mouvement de la particule en général.

Pour calculer un vecteur unitaire tangent à la trajectoire en chaque point, ut, nous partons du vecteur vitesse. Pour n’importe quel mouvement, le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire en tout point.

Pour trouver le vecteur ut, nous construisons un vecteur parallèle au vecteur vitesse mais avec une norme de 1. Nous l’obtenons en divisant le vecteur vitesse par sa norme:

Ce vecteur unitaire dépend du temps car, bien que sa norme soit toujours 1, sa direction varie avec le temps en une trajectoire curviligne.


Le vecteur accélération est défini de la façon suivante:

Donc, en dérivant le vecteur vitesse, on obtient:

Le vecteur accélération ne dépend pas du temps, par conséquent le mouvement de la particule est uniformément accéléré.

N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes.

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