Vecteurs position vitesse accélération - Équations paramétriques

Solution:

Le vecteur position de la particule est donné par:

Où les vecteurs i et j sont les vecteurs unitaires qui définissent le sens positif des axes x et y respectivement. Comme le vecteur position n’a pas de composante z, la particule décrit une trajectoire plane.

Le vecteur vitesse de la particule est donné par:

Et sa norme:

Pour déterminer l’équation de la trajectoire nous isolons l’expression de t à partir de x(t) et nous la substituons dans y(t) afin d’obtenir y(x).

La figure suivante représente graphiquement l’équation de la trajectoire, qui est une parabole.

Dans la figure suivante nous pouvons observer les trois vecteurs (r, v et a) qui permettent de décrire le mouvement de la particule en général.

Pour calculer un vecteur unitaire tangent à la trajectoire en chaque point, u_t, nous partons du vecteur vitesse. Pour n’importe quel mouvement, le vecteur vitesse est toujours tangent à la trajectoire en tout point.

Pour trouver le vecteur u_t, nous construisons un vecteur parallèle au vecteur vitesse mais avec une norme de 1. Nous l’obtenons en divisant le vecteur vitesse par sa norme:

Ce vecteur unitaire dépend du temps car, bien que sa norme soit toujours 1, sa direction varie avec le temps en une trajectoire curviligne.

Le vecteur accélération est défini de la façon suivante:

Donc, en dérivant le vecteur vitesse, on obtient:

Le vecteur accélération ne dépend pas du temps, par conséquent le mouvement de la particule est uniformément accéléré.

N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes.