Vecteurs position vitesse accélération - Mouvement parabolique et chute libre

Énoncé:

Un singe laisse tomber une noix de coco depuis le haut d’un bâtiment à une hauteur y0 = 300 m sans aucune vitesse initiale et un jour sans vent. Un chasseur situé à une distance horizontale x0 de la noix de coco tire sur celle-ci. Pour simplifier, nous supposons que la balle sort du fusil au niveau du sol. La balle est éjectée du fusil avec une vitesse de norme v0 = 350 m/s et avec un angle α = 300 par rapport à l’horizontal.

Vecteurs position vitesse accélération - Mouvement parabolique et chute libre

Déterminez:

  1. Les vecteurs position, vitesse et accélération de la balle en fonction du temps.
  2. Le vecteur position de la noix de coco en fonction du temps.
  3. Le temps que met la balle à atteindre la noix de coco.
  4. La distance horizontale x0 qui sépare le chasseur de la noix de coco.

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Solution:

Comme il n’y a pas de vent, l’unique accélération qui agit sur la balle durant sa chute est la gravité de la Terre.

Pour calculer le vecteur vitesse de la balle en fonction du temps nous calculons d’abord les composantes cartésiennes du vecteur vitesse initiale:

À partir du dessin ci-dessus, vous pouvez déduire que les relations entre la norme de v0, α et les composantes du vecteur sont:

En substituant avec les données du problème on obtient:

Pour déterminer le vecteur vitesse nous utilisons la définition du vecteur accélération:

Si vous souhaitez voir en détail comment l’on choisit les bornes de l’intégrale, vous pouvez consulter le Problème 1.

En substituant les composantes du vecteur vitesse initiale calculées précédemment et en regroupant les termes nous obtenons:

Observez que la composante horizontale du vecteur vitesse est constante durant tout le mouvement. Seule la composante verticale de la vitesse varie dans le temps car le mouvement que décrit la balle est parabolique.


Le vecteur position de la balle s’obtient à partir de la définition du vecteur vitesse:

Le vecteur position initiale est le vecteur nul car la balle commence son mouvement à l’origine des coordonnées. Nous pouvons écrire séparément les composantes du vecteur position:


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Pour déterminer le vecteur position de la noix de coco nous utilisons la même méthode que celle utilisée pour déterminer celui de la balle.

La noix de coco n’a pas de vitesse initiale, en conséquence la norme v0 = 0.

Son vecteur position initiale par rapport au système de coordonnées utilisé dans la première figure est:

Et son accélération est celle de la gravité g.

La vitesse de la noix de coco en fonction du temps est donnée par:

Et son vecteur position par:

En conséquence, la coordonnée verticale du mouvement de la noix de coco est définie par:


Pour que la balle impacte avec la noix de coco, les deux doivent se trouver à la même coordonnée verticale. En conséquence nous égalisons les équations (3) et (2) pour obtenir:


Finalement, pour déterminer la distance horizontale x0 entre le chasseur et la noix de coco nous substituons ce temps dans l’équation (1):

Pour résoudre ce problème nous avons utilisé la valeur de g = 10 m/s2.

N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes.

 

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