Vectores posición velocidad aceleración – Por integración

Enunciado:

Una partícula se encuentra inicialmente en reposo en la posición r0 = i – 2 (m) y tiene una aceleración a = 3i (m/s2). Determinar los vectores posición, velocidad y aceleración de la partícula en función del tiempo.

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Solución:

En primer lugar vamos a dibujar el sistema de referencia que emplearemos para resolver el problema. Además representaremos las condiciones iniciales del movimiento.

Como puedes observar en la figura, el sentido positivo de los ejes puede representarse de dos maneras diferentes. Puedes utilizar los vectores unitarios i y j que definen los sentidos positivos de los ejes (en rojo en la figura) o bien indicar al lado de cada coordenada el signo más que determina el sentido positivo del eje correspondiente. No es necesario utilizar las dos representaciones.

Los vectores unitarios indican además la unidad en cada eje. En la figura anterior tienes representados a escala el vector de posición inicial (en verde) y la aceleración de la partícula.

El vector aceleración de la partícula en función del tiempo es un dato del problema. Como puedes observar es constante (la partícula tiene la misma aceleración en cualquier instante de tiempo):


Para determinar el vector velocidad en función del tiempo utilizamos la definición de aceleración:

Y a continuación integramos ambos miembros de la ecuación anterior:

Las integrales que aparecen en la ecuación anterior son definidas. Para determinar cuáles son sus extremos debes fijarte en primer lugar en cuál es la variable de integración. En el segundo miembro es el tiempo, por lo que la integral será evaluada entre el tiempo inicial (que supondremos igual a cero) y un tiempo genérico t. De este modo obtendremos el vector velocidad en función del tiempo.

Los extremos de la integral que aparece en el primer miembro serán dos velocidades, ya que en este caso la variable de integración es la velocidad. El extremo inferior es el vector velocidad en el tiempo inicial y el superior el vector velocidad para el tiempo t. Como la partícula parte del reposo, sustituiremos esta velocidad inicial por el vector nulo.

Integrando y sustituyendo los extremos de la integral:


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Para calcular el vector de posición en función del tiempo utilizamos su definición e integramos. Para determinar los extremos de las integrales utilizamos el mismo método que el empleado para calcular el vector velocidad:

Integrando y sustituyendo los extremos de la integral:

Y finalmente agrupando términos:

Recuerda poner las unidades en los resultados de los problemas.

La página Vectores posición velocidad aceleración – Por integración ha sido originalmente publicada en YouPhysics