Vectores posición velocidad aceleración – Movimiento en dos dimensiones

Enunciado:

Un tenista lanza la pelota contra una pared vertical que se encuentra a d = 25 m de él. La pelota sale a una altura y0 = 2 m con respecto al suelo con una velocidad inicial v0 = 20 i+10 j (m/s). Durante todo el recorrido de la pelota el viento produce una aceleración horizontal constante a = -3 i (m/s2). Determinar:

  1. El módulo y el ángulo que forma con la horizontal la velocidad inicial de la pelota.
  2. Los vectores posición, velocidad y aceleración de la pelota en función del tiempo.
  3. El tiempo que tarda la pelota en alcanzar el punto más alto de su trayectoria.
  4. El tiempo que tarda en llegar a la pared.
  5. La altura a la que impacta en la pared.
  6. El vector velocidad de la partícula en ese momento.

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Solución:

En la siguiente figura se han representado los ejes cartesianos que vamos a emplear para resolver el problema, así como los vectores posición inicial, velocidad inicial y la aceleración de la pelota (no están dibujados a escala).

Vectores posición velocidad aceleración - Movimiento en dos dimensiones

El módulo del vector velocidad inicial viene dado por:

Para determinar el ángulo que forma con el eje horizontal, α, trasladamos el sistema de referencia hasta el vector (ver figura) y, por trigonometría, lo calculamos en función de sus componentes vx y vy.


El vector aceleración de la pelota es la suma vectorial de la aceleración horizontal que produce el viento más la aceleración de la gravedad, que la pelota experimenta por estar cerca de la superficie de la Tierra. Vamos a tomar como módulo de esta última g = 10 m/s2.

Con el criterio de signos para los ejes cartesianos representados en la primera figura, el vector aceleración viene dado por:


Una vez calculado el vector aceleración podemos calcular el vector velocidad integrando. Si quieres ver de forma detallada cómo se hace la integral, puedes consultar el Problema 1 de esta sección.

Sustituyendo el valor de v0 y agrupando términos:

Podemos escribir por separado cada una de las componentes del vector velocidad:


Para calcular el vector de posición empleamos el mismo procedimiento pero ahora integrando el vector velocidad que acabamos de calcular.

El vector de posición inicial es r0 = 2 j, ya que la pelota empieza su movimiento a una altura de dos metros con respecto al suelo.

Haciendo la integral:

Y sustituyendo el vector de posición inicial y agrupando términos:

Y las componentes del vector de posición (expresadas en metros) son por tanto:


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La pelota alcanza el punto más alto de su trayectoria cuando se anula la componente vertical de su velocidad, que viene dada por la ecuación (2):

Para llegar a la pared, la pelota debe recorrer la distancia d, por lo que la igualamos a la coordenada x de su movimiento (dada por la ecuación (3)):


Para hallar la altura a la que impacta en la pared basta sustituir este tiempo en la ecuación (4):

Y el vector velocidad se determina sustituyendo el tiempo que tarda en llegar a la pared en las ecuaciones (1) y (2), o bien directamente en la expresión del vector velocidad.

En la siguiente gráfica tienes representada la trayectoria que describe la pelota. Como puedes observar, no es una parábola. Para que la trayectoria de un proyectil sea parabólica, únicamente debe tener la aceleración de la gravedad. 

Recuerda poner las unidades en los resultados de los problemas. Para resolver el problema se ha utilizado el valor g = 10 m/s2.

La página Vectores posición velocidad aceleración – Movimiento en dos dimensiones ha sido originalmente publicada en YouPhysics