Vecteurs position vitesse accélération - Mouvement en deux dimensions

Énoncé:
Un joueur de tennis lance une balle contre un mur vertical qui se trouve à une distance d = 25 m de lui. La balle part d’une hauteur y 0 = 2 m par rapport au sol et avec une vitesse initiale v0 = 20 i+10 j (m/s). Le vent produit une accélération horizontale constante a = -3 i (m/s2) tout au long de la trajectoire de la balle. Déterminez:

  1. La norme du vecteur vitesse initiale de la balle et l’angle qu’il forme avec l’horizontal.
  2. Les vecteurs position, vitesse et accélération de la balle en fonction du temps.
  3. Le temps que met la balle pour atteindre le point le plus haut de sa trajectoire.
  4. Le temps que met la balle pour atteindre le mur.
  5. La hauteur de la balle lorsqu’elle atteint le mur.
  6. Le vecteur vitesse de la balle à ce moment.

Bloqueur de publicité détécté

La connaissance est gratuite, mais les serveurs ne le sont pas. Aidez-nous à maintenir ce site en désactivant votre bloqueur de publicité sur YouPhysics. Merci!


 

Solution:

La figure ci-dessous représente le repère cartésien que nous allons utiliser pour résoudre le problème, ainsi que les vecteurs position initiale, vitesse initiale et accélération de la balle (ils ne sont pas représentés à l’échelle).

Vecteurs position vitesse accélération - Mouvement en deux dimensions

La norme du vecteur vitesse initiale est donnée par:

Pour déterminer l’angle α que forme la vitesse initiale avec l’axe horizontal nous déplaçons le référentiel jusqu’au vecteur (voir la figure) et, par trigonométrie, nous calculons l’angle à partir de ses composantes vx et vy.


Le vecteur accélération de la balle est la somme vectorielle de l’accélération horizontale que produit le vent et de l’accélération de la gravité, que subit la balle car elle est à proximité de la surface de la Terre. Pour simplifier, considérons que le module de l’accélération de la gravité est g = 10 m/s2.

Avec les signes utilisés dans le repère cartésien de la première figure, le vecteur accélération est défini de la façon suivante:


Une fois calculé le vecteur accélération nous pouvons calculer le vecteur vitesse par intégration. Si vous souhaitez voir le détail du calcul de l’intégrale, vous pouvez consulter le Problème 1 de cette section.

En substituant la valeur de v0 et en regroupant les termes:

Nous pouvons écrire séparément chacune des composantes du vecteur vitesse:


Pour calculer le vecteur position nous utilisons la même méthode mais en intégrant cette fois ci le vecteur vitesse que nous venons de calculer.

Le vecteur position initiale est r0 = 2 j, car la balle commence son mouvement à une hauteur de deux mètres par rapport au sol.

Nous calculons l’intégrale:

Puis nous substituons le vecteur de position initiale dans l’expression et nous regroupons les termes:

Les composantes du vecteur position (exprimées en mètres) son alors:


Bloqueur de publicité détécté

La connaissance est gratuite, mais les serveurs ne le sont pas. Aidez-nous à maintenir ce site en désactivant votre bloqueur de publicité sur YouPhysics. Merci!


La balle atteint le point le plus élevé de sa trajectoire lorsque la composante verticale sa vitesse devient nulle, ce qui est donné par l’équation (2):

Pour atteindre le mur, la balle doit parcourir la distance horizontale d, donc en égalisant cette distance avec la coordonnée x de son mouvement (donnée para l’équation (3)), nous obtenons:


Pour déterminer la hauteur de la balle lorsqu’elle atteint le mur il suffit de substituer le temps dans l’équation (4):

Le vecteur vitesse à cet instant s’obtient en remplaçant le temps que met la balle pour atteindre le mur dans les équations (1) et (2), ou bien directement dans l’expression du vecteur vitesse.

La courbe ci-dessous représente la trajectoire que décrit la balle. Ce n’est pas une parabole comme vous pouvez l’observer. Pour que la trajectoire d’un projectile soit une parabole, celui-ci ne doit être soumis qu’à l’accélération de la gravité.

N’oubliez pas de mettre les unités dans les résultats des problèmes. Pour résoudre le problème nous avons utilisé la valeur de g = 10 m/s2.

Cette page Vecteurs position vitesse accélération - Mouvement en deux dimensions a été initialement publiée sur YouPhysics