Comment utiliser l’énergie potentielle élastique dans un mouvement harmonique simple

Énoncé:

Une masse M = 3 kg se trouve sur une superficie horizontale sans frottements et elle est accrochée à un ressort de raideur (ou constante de rappel) k = 1000 N/m. À l’instant initial, le ressort est étiré, la masse est au repos et son énergie totale est E =  20J. Lorsque la masse est libérée, déterminez:

  1. L’amplitude, la fréquence angulaire, la fréquence ainsi que la période du mouvement harmonique simple décrit par la masse M.
  2. L’accélération de la masse à l’instant initial t = 0.
  3. La position et la vitesse de la masse lorsque son énergie potentielle élastique est 10 J.

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Solution:

La masse se trouve initialement (t = 0) à une distance x = A de sa position d’équilibre; elle est au repos et son énergie totale est égale à son énergie potentielle élastique car elle n’a pas d’énergie cinétique puisque sa vitesse est nulle.

Nous pouvons isoler l’amplitude A du mouvement harmonique simple à partir de l’équation précédente. En isolant et en substituant avec les données, nous obtenons:

D’autre part, dans un mouvement harmonique simple la relation entre la fréquence angulaire ω et la raideur (ou constante de rappel) du ressort est:

Et la relation entre la fréquence angulaire ω, la fréquence ν et la période T est:

Après avoir substitué avec les données du problème nous obtenons:


L’état de la masse M à l’instant t = 0 est représenté dans la figure ci-dessous:

La force qu’exerce le ressort sur la masse est donnée par la loi de Hooke et elle est proportionnelle au déplacement x de la masse.

À l’instant initial, le déplacement de la masse par rapport à la position d’équilibre x = 0 est égale à l’amplitude A. Par conséquent la norme de la force sera maximale à cet instant.

D’autre part, comme la deuxième loi de Newton doit être respectée, nous pouvons faire l’égalité entre la norme de la force du ressort et le produit de la masse M par son accélération, ce qui nous permet d’isoler cette dernière:

Et après avoir substitué avec les données du problème nous obtenons:

Nous pouvons aussi calculer l’accélération de la masse à partir de l’expression x(t) de la position en fonction du temps:

Et après avoir substitué x = A dans l’expression précédente, nous obtenons l’accélération de la masse à l’instant initial:

Ce qui est bien le même résultat en valeur absolue que celui obtenu avec la méthode précédente. Le signe moins signifie ici que l’accélération est dirigée dans le sens négatif de l’axe x car la force de rappel du ressort tend à ramener la masse vers la position d’équilibre x = 0.

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Nous pouvons calculer le déplacement x de la masse à partir de l’énergie potentielle (10 J):

Nous utiliserons le principe de conservation de l’énergie pour calculer la vitesse. L’énergie initiale de la masse doit être égale à l’énergie totale:

Finalement, nous déterminons la vitesse de la masse en substituant la valeur de x calculée précédemment ainsi que l’amplitude du mouvement harmonique simple:

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