Exemple d’onde progressive sinusoïdale le long d’une corde

Enoncé:

Considérons une onde sinusoïdale progressive qui se propage le long d’une corde et dont l’expression mathématique (exprimée dans les unités du Système International) est:

  1. Calculez l’amplitude, la longueur d’onde, la période et la vitesse de propagation de l’onde.
  2. Calculez la vitesse et l’accélération maximale d’un élément quelconque de la corde.
  3. Dessinez l’état de la corde à l’instant t = 1/12 s.
  4. Donnez l’équation de mouvement d’un point de la corde qui se trouve à une distance x = 5 m de l’origine.

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Solution:

L’équation qui décrit une onde sinusoïdale progressive est:

Si on compare cette expression avec les termes utilisés dans la fonction fournie dans l’énoncé, on déduit que l’amplitude de l’onde sinusoïdale progressive est:

La relation entre le nombre d’onde k et la longueur d’onde λ est:

En isolant et en faisant la substitution nous obtenons:

La période T de l’onde sinusoïdale progressive se calcule à partir de sa fréquence angulaire ω:

Nous obtenons la fréquence angulaire à partir de la fonction fournie dans l’énoncé et nous isolons la période:

Et nous obtenons finalement la vitesse de propagation de l’onde qui est donnée par:


La vitesse d’un élément quelconque de la corde se calcule en dérivant la fonction y(x,t) qui décrit l’onde par rapport au temps:

La vitesse maximale d’un point quelconque de la corde est par conséquent:

Et l’accélération d’un élément de la corde est la dérivée par rapport au temps de la vitesse que nous venons de calculer:

Sa valeur maximale est:

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Pour dessiner la corde à un certain instant, il suffit de substituer ce temps dans la fonction y(x,t). Nous obtenons de cette façon une fonction y(x) qui est une “photo” de la corde à l’instant t choisi.

Si nous utilisons t = 1/12 s dans la fonction y(x,t) du problème, nous avons:

Et en la représentant dans un repère cartésien nous obtenons:


Lorsqu’une onde sinusoïdale progressive se propage dans un milieu matériel, chaque point du milieu décrit un mouvement harmonique simple. Pour déterminer l’équation y(t) qui décrit le mouvement d’un point quelconque, il suffit de substituer la valeur de x de ce point dans la fonction y(x,t).

En substituant x = 5 m dans la fonction y(x,t), nous obtenons:

Cette expression est celle d’un mouvement harmonique simple. Si nous le représentons dans un repère cartésien nous obtenons:

Observez que dans la figure supérieure la variable utilisée pour l’axe horizontal est le temps car nous avons représenté le mouvement d’un point particulier de la corde (x est fixe).

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