La expresión de una onda armónica propagándose por una cuerda es (expresada en unidades del Sistema Internacional):
- Calcular la amplitud, longitud de onda, periodo y velocidad de propagación de la onda.
- Calcular la velocidad y la aceleración máximas de un elemento cualquiera de la cuerda.
- Dibujar el estado de la cuerda en t = 1/12 s.
- Dar la ecuación del movimiento de un punto de la cuerda que se encuentra a una distancia x = 5 m del origen.
Solución:
La función de onda de una onda armónica es:
Identificando con la función de onda del problema, la amplitud de la onda de la onda armónica toma el valor:
La relación entre el número de ondas k y la longitud de onda λ es:
Por tanto, despejando y sustituyendo:
El período T de la onda armónica se calcula a partir de su frecuencia angular ω:
De la función de onda que se da como dato en el problema obtenemos la frecuencia angular y despejamos el período:
La velocidad de propagación de la onda viene dada por:
La velocidad de un elemento cualquiera de la cuerda se calcula derivando la función de onda y(x,t) con respecto al tiempo:
La velocidad máxima de un punto de la cuerda es por tanto:
Y la aceleración de un elemento de la cuerda es la derivada de la velocidad que acabamos de calcular:
y su valor máximo es:
Para dibujar la cuerda en un cierto instante de tiempo, basta con sustituir dicho tiempo en la función de onda y(x,t). De esta manera obtendremos una función y(x) que es una «foto» de la cuerda en el instante de tiempo elegido.
Si sustituimos t = 1/12 s en la función de onda del problema se obtiene:
Y representando en unos ejes cartesianos:
Cuando una onda armónica se propaga por un medio material, cada punto del mismo describe un movimiento armónico simple. Para determinar la ecuación y(t) que describe su movimiento basta con sustituir en la función de onda y(x,t) el valor de x para dicho punto.
Sustituyendo x = 5 m en la función de onda obtenemos:
La expresión anterior es la de un movimiento armónico simple. A continuación vamos a representarla en unos ejes cartesianos:
Observa que en la figura superior la variable que estamos representando en el eje horizontal es el tiempo, ya que ahora lo que vemos es cómo se mueve un único punto de la cuerda (x está fijo).
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