Ondas estacionarias en la cuerda de un violín

Enunciado:

La cuerda Sol de un violín tiene una longitud L = 33 cm. La frecuencia de esta nota es ν0 = 196 Hz. Dar una expresión para la posición a la que deben ponerse los dedos con respecto al extremo de la cuerda para tocar las distintas notas.

Determinar la distancia desde el extremo de la cuerda a la que deben ponerse los dedos 1, 2, 3 y 4 sobre el diapasón para tocar las notas La (220 Hz), Si (247 Hz), Do (262 Hz) y Re (294 Hz).

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Solución:

Cuando una cuerda de longitud L está fijada por sus extremos, ondas armónicas de determinadas frecuencias propagándose por ella en sentidos contrarios producen ondas estacionarias.

La relación entre dichas frecuencias y la longitud de la cuerda L desde la ceja hasta el puente viene dada por:

Donde n es un número natural y v es la velocidad de propagación de las ondas por la cuerda.

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Al pulsar la cuerda de un violín, pueden generarse ondas estacionarias de distinta frecuencia dependiendo de la posición en que se coloquen los dedos sobre ella, ya que la posición de los mismos determina la longitud Ln de la porción de la cuerda por la que se propaga la onda (ver figura inferior).

En el cálculo que vamos a realizar llamaremos xn a la distancia sobre el diapasón desde la ceja hasta la posición de los dedos.

La cuerda sol del violín sin pulsar produce la nota Sol, de frecuencia ν0. Utilizando la relación entre la frecuencia de las ondas estacionarias y la longitud de la cuerda podemos obtener la velocidad de propagación de las ondas por la cuerda. Sustituiremos n = 1 porque estamos trabajando con las frecuencias fundamentales:

Al pulsar la cuerda con los distintos dedos, la longitud Ln desde el dedo hasta el puente es:

Y la distancia xn será por tanto la longitud total L de la cuerda menos Ln:

Y simplificando obtenemos:

En la tabla siguiente se muestran los valores de xn para las distintas notas producidas pulsando la cuerda de Sol:

Nº dedo
Nota
υn (Hz)
xn (cm)
0 (Sin pulsar)
Sol
196
1
La
220
3,6
2
Si
247
6,8
3
Do
262
8,3
4
Re
294
11
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