Cómo calcular la ecuación de un movimiento armónico simple

Enunciado:

Una masa M = 3 kg se encuentra sobre una superficie horizontal sin rozamiento y está sujeta a un muelle de constante recuperadora k = 1000 N/m. Inicialmente el muelle está estirado una longitud A = 0.2 m. Cuando se libera la masa en t = 0, determinar:

  1. La amplitud, la frecuencia angular, la frecuencia, el período del movimiento armónico que describe la masa M.
  2. La ecuación x(t) de la posición de la masa en función del tiempo.
  3. La posición de la masa en t = 1 s.
  4. El instante de tiempo en que la masa pasa por x = 0.
  5. La velocidad y la aceleración de la masa en función del tiempo.

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Solución:

En la figura siguiente se ha representado la masa sujeta al muelle en el instante t = 0. Para resolver este problema tomaremos el origen de coordenadas  x = 0 para la posición de la masa en que el muelle no está comprimido ni estirado o, lo que es lo mismo, cuando el muelle se encuentra en su longitud natural.

Como la fuerza que el muelle ejerce sobre la masa es recuperadora, si se libera desde la posición indicada en la figura la masa empezará a moverse hacia la izquierda hasta llegar a la posición x = -A. Después volverá hasta x = A repitiéndose el movimiento de forma periódica.

La amplitud del movimiento armónico simple que describe la masa es igual a su desplazamiento inicial, ya que la fuerza recuperadora del muelle es conservativa y por tanto la energía total de la masa debe conservarse. Por tanto:

En un movimiento armónico simple la frecuencia angular ω en función de la constante recuperadora del muelle y de la masa viene dada por:

Por otra parte la relación entre la frecuencia ν, el periodo T y la frecuencia angular ω es:

Y sustituyendo los datos numéricos del problema:


En un movimiento armónico simple la posición en función del tiempo viene dada por:

Donde δ es la constante de fase, que se determina utilizando las condiciones iniciales del problema.

En este caso la condición inicial es que, en el tiempo inicial t = 0 la posición de la masa es x = A. Sustituyendo en la ecuación de la posición en función del tiempo:

Por tanto la ecuación x(t), sustituyendo la amplitud y la frecuencia angular es:


La posición de la masa en cualquier instante de tiempo se determina sustituyendo dicho tiempo en la ecuación de x(t). Hay que tener en cuenta que el argumento del coseno está expresado en radianes, ya que la unidad de la frecuencia angular ω es rad/s.

Sustituyendo t = 1 s en la expresión de x(t) obtenemos:

El valor de x tiene que estar comprendido entre x = -A y x = A porque la energía de la masa se conserva.

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El instante de tiempo en que la masa pasa por x = 0 puede ser calculado de dos maneras diferentes. Por un lado, el período es el tiempo que tarda la masa en realizar una oscilación completa, por lo que la masa pasará por primera vez por x = 0 para un tiempo t = T/4:

A este mismo resultado podemos llegar sustituyendo x = 0 en la ecuación x(t):


La velocidad de la masa es la derivada de la posición y su aceleración es la derivada de la velocidad:

Y sustituyendo los datos del problema:

La página Cómo calcular la ecuación de un movimiento armónico simple ha sido originalmente publicada en YouPhysics