Comment calculer l’équation d’un mouvement harmonique simple

Énoncé:

Une masse M = 3 kg qui se trouve sur une superficie horizontale sans frottements est accrochée à un ressort de raideur (ou constante de rappel) k = 1000 N/m. Le ressort est initialement étiré d’une longueur A = 0.2 m. Si la masse est libérée à l’instant t = 0, déterminez:

  1. L’amplitude, la fréquence angulaire, la fréquence et la période du mouvement harmonique de la masse M.
  2. L’équation x(t) qui décrit la position de la masse en fonction du temps.
  3. La position de la masse à l’instant t = 1 s.
  4. À quel instant la masse passe t’elle par la position x = 0.
  5. La vitesse et l’accélération de la masse en fonction du temps.

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Solution:

La masse accrochée au ressort est représentée dans la figure ci-dessous à l’instant t = 0. Pour résoudre ce problème, nous définissons que la position x de la masse est négative lorsque le ressort est comprimé, nulle lorsque le ressort a sa longueur naturelle (longueur à vide lorsqu’il n’est ni comprimé ni étiré) et positive lorsque le ressort est étiré.

Comme le ressort exerce une force de rappel sur la masse, lorsque celle-ci sera libérée depuis la position indiquée dans la figure, elle commencera à se déplacer vers la gauche jusqu’à arriver à la position x = -A. Puis elle repartira vers la droite jusqu’à la position x = A avant de revenir vers la gauche en répétant ce mouvement de façon périodique.

L’amplitude du mouvement harmonique simple décrit par la masse est égale à son déplacement initial, car la force de rappel du ressort est conservative et par conséquent l’énergie totale de la masse doit être conservée. Par conséquent:

Dans un mouvement harmonique simple, la fréquence angulaire ω exprimée en fonction de la raideur du ressort et de la masse est donnée par:

D’autre part, la relation entre la fréquence ν, la période T et la fréquence angulaire ω est:

En substituant avec les données numériques du problème nous obtenons:


Dans un mouvement harmonique simple, la position exprimée en fonction du temps est donnée par:

Où δ est la constante de phase qui se détermine en utilisant les conditions initiales du problème.

Dans ce problème, la condition initiale est qu’au temps initial t = 0 la position de la masse soit x = A. En substituant dans l’équation de la position exprimée en fonction du temps nous obtenons:

En substituant l’amplitude et la fréquence angulaire dans l’expression, nous obtenons finalement que l’équation x(t) est:


La position de la masse à n’importe quel instant est déterminée en substituant le temps dans l’équation x(t). N’oubliez pas que l’argument du cosinus est exprimé en radians, car l’unité de la fréquence angulaire est le rad/s.

En substituant t = 1 s dans l’expression de x(t) nous obtenons:

La valeur de x doit être comprise entre x = -A et x = A car l’énergie de la masse est conservée.

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L’instant auquel la masse passe par la position x = 0 peut être calculé de deux façons différentes. D’un côté on peut utiliser le fait que la période T est le temps que met la masse pour réaliser une oscillation complète. Par conséquent la masse passera une première fois à la position x = 0 à l’instant t = T/4:

D’autre part, nous pouvons arriver à ce même résultat en substituant x = 0 dans l’equation x(t):


Rappelez-vous que la vitesse de la masse est la dérivée de la position et que l’accélération est la dérivée de la vitesse. Par conséquent nous avons:

Et après avoir substitué avec les données du problème nous obtenons:

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