Effet Doppler - La chauve-souris et l’insecte

Enoncé:

Une chauve-souris se déplace en direction d’un insecte avec une vitesse constante vb = 7 m/s un jour sans vent. L’insecte se déplace dans le même sens que la chauve-souris et s’éloigne d’elle avec une vitesse vi. La chauve-souris émet des ultrasons de fréquence υ0. Si l’écho lui revient avec une fréquence 2% plus élevée que celle de l’onde émise, déterminez la vitesse de l’insecte.

Données: vitesse du son v = 340 m/s.

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Solution:

Certaines espèces de chauves-souris utilisent l’écholocalisation (ou écholocation) pour déterminer la vitesse d’une proie ou la distance à laquelle elle se trouve. Afin d’y parvenir, elles détectent la différence de fréquence entre l’onde émise et l’écho qui revient. Cette différence de fréquence est due à l’effet Doppler.

La situation physique décrite dans l’énoncé du problème est représentée dans la figure ci-dessous. La chauve-souris, l’insecte et les ondes émises se déplacent dans le même sens.

Pour calculer la fréquence perçue par la chauve-souris en fonction de sa vitesse et de celle de l’insecte, nous allons décomposer le problème en deux parties. Nous calculerons tout d’abord la fréquence υi de l’onde qui arrive à l’insecte puis nous utiliserons celle-ci comme la fréquence initiale de l’écho qui revient à la chauve-souris.

Calcul de υi:

L’expression générale de la fréquence perçues par le récepteur en fonction de sa vitesse et de la vitesse de la source est:

Où:

    • |v|: vitesse des ondes sonores par rapport au milieu matériel (l’air).
    • vm: vitesse du milieu matériel par rapport à la Terre.
    • vS: vitesse de la source des ondes sonores.
    • vR: vitesse du récepteur des ondes sonores (observateur).
    • υ0: fréquence des ondes sonores émises par la source.

Dans la première partie du problème, la source est la chauve-souris et le “récepteur” est l’insecte tel que cela est représenté dans la figure ci-dessous. La chauve-souris émet des ondes de fréquence υ0 et celles-ci arrivent à l’insecte avec la fréquence υi:

Comme il n’y a pas de vent, la vitesse du milieu matériel est nulle (vm = 0) dans l’expression précédente, par conséquent la fréquence υi est donnée par:

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Dans la seconde partie du problème, l’écho est l’onde qui est réfléchie par l’insecte et qui se déplace jusqu’à la chauve-souris comme cela est représenté dans la figure ci-dessous:

L’insecte est maintenant l’émetteur et la chauve-souris est le récepteur. La fréquence initiale des ondes réfléchies par l’insecte est υi et la fréquence perçues par la chauve-souris est υ.

D’autre part, le récepteur (la chauve-souris) se déplace vers les ondes, sa vitesse dans le numérateur aura donc un signe positif. L’insecte (l’émetteur) se déplace lui aussi dans le sens opposé à celui des fronts d’onde et par conséquent sa vitesse dans le dénominateur aura elle aussi un signe positif. En utilisant toute cette information dans l’expression générale de l’effet Doppler nous obtenons:

Finalement, nous substituons υi dans l’expression précédente et nous obtenons la fréquence υ perçue par la chauve-souris en fonction de la fréquence initiale υ0 qu’elle émet.

Après avoir substitué avec les données du problème et en isolant nous obtenons la vitesse de l’insecte vi:

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