Un murciélago se mueve hacia un insecto con velocidad constante vb = 7 m/s en un día sin viento. El insecto se mueve en el mismo sentido que el murciélago alejándose de él con una velocidad vi. El murciélago emite ultrasonidos de frecuencia υ0. Si el eco le llega con una frecuencia 2% mayor que la que emite, determinar la velocidad del insecto.
Datos: velocidad del sonido v = 340 m/s.
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Solución:
Algunas especies de murciélago utilizan la ecolocalización para determinar la velocidad con que se mueve una presa o a qué distancia se encuentra de él. Para ello, el murciélago detecta la diferencia de frecuencias entre la onda que emite y el eco que le llega. Esta diferencia de frecuencias se denomina efecto Doppler.
En la figura inferior se ha representado la situación física planteada en el problema. El murciélago, el insecto y las ondas que emiten se mueven en el mismo sentido.
Para calcular la frecuencia que percibe el murciélago en función de su velocidad y de la del insecto vamos a descomponer el problema en dos partes. En primer lugar calcularemos la frecuencia υi de la onda que llega al insecto y después la utilizaremos como frecuencia inicial para el eco que llega al murciélago.
Cálculo de υi:
La expresión general de la frecuencia percibida por el receptor en función de su velocidad y de la velocidad de la fuente es:
Donde:
-
- |v|: velocidad de las ondas sonoras con respecto al medio material (aire).
- vm: velocidad del medio material con respecto a la Tierra.
- vS: velocidad de la fuente de las ondas sonoras.
- vR: velocidad del receptor de las ondas sonoras (observador).
- υ0: frecuencia de las ondas sonoras emitidas por la fuente.
En esta primera parte del problema la fuente es el murciélago y el «receptor» es el insecto como se muestra en la figura inferior. El murciélago emite ondas de frecuencia υ0 y llegan al insecto con frecuencia υi:
Como no hay viento, la velocidad del medio en la expresión anterior es cero (vm = 0), por lo que υi viene dada por:
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En la segunda parte el eco es la onda que se refleja en el insecto y viaja hasta el murciélago, como se muestra en la figura inferior:
Ahora el emisor es el insecto y el receptor es el murciélago. La frecuencia inicial de las ondas reflejadas en el insecto es υi y la frecuencia percibida por el murciélago es υ.
Además, el receptor (murciélago) se mueve hacia las ondas, por lo que su velocidad va en el numerador con signo positivo. El insecto (emisor) se mueve en sentido contrario al de los frentes de onda, por lo que su velocidad va en el denominador con signo positivo también. Incorporando toda esta información a la expresión general del efecto Doppler obtenemos:
Finalmente, sustituyendo υi en la expresión anterior obtenemos la frecuencia υ percibida por el murciélago en función de la frecuencia inicial υ0 que emitió:
Y sustituyendo los datos del problema y despejando obtenemos la velocidad del insecto vi:
