Una masa M = 3 kg se encuentra sobre una superficie horizontal sin rozamiento y está sujeta a un muelle de constante recuperadora k = 1000 N/m. Inicialmente el muelle está estirado, la masa está en reposo y tiene una energía total E = 20J. Cuando se libera, determinar:
- La amplitud, la frecuencia angular, la frecuencia y el período del movimiento armónico simple que describe la masa M.
- La aceleración de la masa en el instante inicial t = 0.
- La posición y la velocidad de la masa cuando la energía potencial elástica es de 10 J.
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Solución:
Inicialmente (t = 0) la masa se encuentra separada una distancia x = A de su posición de equilibrio; además está en reposo y tiene una energía total que es igual a su energía potencial elástica, ya que al no tener velocidad la masa no tiene energía cinética:
Y de la ecuación anterior podemos despejar la amplitud A del movimiento armónico simple. Despejando y sustituyendo los datos obtenemos:
Por otra parte, en un movimiento armónico simple la frecuencia angular ω se relaciona con la constante recuperadora del muelle:
Y la relación entre la frecuencia angular ω, la frecuencia ν y el periodo T es:
Y sustituyendo los datos del problema:
En la figura inferior se ha representado el estado de la masa M en t = 0.
La fuerza que el muelle ejerce sobre ella viene dada por la ley de Hooke, y es proporcional al desplazamiento x de la masa.
En el instante inicial el desplazamiento de la masa con respecto a la posición de equilibrio x = 0 es igual a la amplitud A. Por tanto el módulo de la fuerza será máximo en este momento.
Además debe cumplirse la segunda ley de Newton, por lo que podemos igualar el módulo de la fuerza del muelle al producto de la masa M por su aceleración y de ahí despejar esta última:
Y sustituyendo los datos del problema:
La aceleración de la masa puede también calcularse a partir de la expresión x(t) de la posición en función del tiempo:
Y sustituyendo x = A en la expresión anterior obtenemos la aceleración de la masa en el instante inicial:
Que da el mismo valor (absoluto) de la aceleración que el método anterior. El signo menos significa que la aceleración apunta en el sentido negativo del eje x porque la fuerza del muelle es recuperadora y tiende a llevar la masa a su posición de equilibrio x = 0.
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A partir de la energía potencial elástica (10 J) podemos calcular el desplazamiento x de la masa:
Para calcular su velocidad utilizamos el principio de conservación de la energía. La energía inicial de la masa debe ser igual a la energía total:
Y sustituyendo el valor de x calculado anteriormente así como la amplitud del movimiento armónico simple determinamos la velocidad de la masa:
