Ondes stationnaires sur une corde de violon

Énoncé:

La corde de SOL d’un violon a une longueur L = 33 cm. La fréquence de cette note est ν0 = 196 Hz. Déterminez l’expression qui permet de savoir à quelle distance par rapport à l’extrémité de la corde faudrait-il mettre les doigts afin de jouer les différentes notes.

Déterminez par conséquent la distance (depuis l’extrémité de la corde) à laquelle faut-il placer les doigts 1, 2, 3 et 4 afin de jouer les notes LA (220 Hz), SI (247 Hz), DO (262 Hz) et RÉ (294 Hz).

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Solution:

Lorsque qu’une corde de longueur L est tendue entre ses deux extrémités fixes, les ondes sinusoïdales de certaines fréquences qui se propagent en sens contraire produisent des ondes stationnaires.

La relation entre ces fréquences et la longueur de la corde L depuis le sillet jusqu’au chevalet est donnée par:

Où n est un entier naturel et v est la vitesse de propagation des ondes le long de la corde.

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Lorsque les doigts du violoniste appuient sur la corde, des ondes stationnaires de différentes fréquences sont générées selon la position des doigts, celle-ci détermine en effet la longueur Ln de la portion de la corde sur laquelle se propage l’onde (voir la figure ci-dessous).

Dans le calcul que nous ferrons, nous appellerons xn la distance depuis le sillet jusqu’à la position des doigts.

La corde SOL du violon produit la note SOL de fréquence ν0 lorsque les doigts ne la touchent pas. En utilisant la relation entre la fréquence des ondes stationnaires et la longueur de la corde nous pouvons déterminer la vitesse de propagation des ondes le long de la corde. Nous faisons la substitution avec n = 1 car nous travaillons avec les fréquences fondamentales:

Lorsque le violoniste touche la corde avec les doigts, la longueur Ln depuis le doigt jusqu’au chevalet est:

Et la distance xn sera par conséquent la longueur totale L de la corde moins Ln:

En simplifiant nous obtenons:

Vous trouverez dans la table suivante les valeurs de xn pour les différentes notes produites en appuyant sur la corde de SOL:

Nº doigt
Note
υn (Hz)
xn (cm)
0 (sans touché)
Sol
196
1
La
220
3,6
2
Si
247
6,8
3
Do
262
8,3
4
Re
294
11
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