Un mol de un gas ideal monoatómico describe el ciclo de Carnot representado en la figura. El volumen que ocupa el gas en el estado A es VA = 2 10-3 m3. En el estado B su volumen es VB = 5 10-3 m3 Después de la expansión adiabática el gas ocupa un volumen VC = 20 10-3 m3. La temperatura del foco caliente es de 500 K. Calcular:
- La temperatura del foco frío.
- El rendimiento del ciclo.
- La variación de entropía del gas en cada etapa así como en el ciclo completo.
- La variación de entropía de los focos térmicos.
- La variación de entropía del universo en cada ciclo.
- Si una máquina trabajando entre los mismos focos tuviera un rendimiento igual al 20% del de la máquina de Carnot, determinar la variación de entropía del fluido de trabajo de la máquina, de los focos y del universo en cada ciclo para la misma cantidad de calor absorbido del foco caliente.
Expresar los resultados en unidades del Sistema Internacional.
Datos: R = 8.31 J/mol K; CV = (3/2)R; γ = 1.67
Solución:
El ciclo de Carnot está constituido por cuatro etapas recorridas reversiblemente:
A-B Expansión isoterma
B-C Expansión adiabática
C-D Compresión isoterma
D-A Compresión adiabática
Para determinar la temperatura del foco frío (T2 en la figura), utilizamos la ecuación de la adiabática que conecta los estados B y C:
El rendimiento de la máquina de Carnot viene dado por:
La variación de entropía del gas en las etapas adiabáticas del ciclo de Carnot es cero (QR = 0).
La variación de entropía del gas en la expansión isoterma AB viene dada por:
Para aplicar la misma expresión a la transformación CD calculamos el volumen en el estado D utilizando la ecuación de la adiabática que conecta los estados D y A:
Por tanto, la variación de entropía del gas en la compresión isoterma C y D viene dada por:
La variación de entropía del gas en el ciclo completo es igual a la suma de las variaciones de entropía del gas para las etapas que lo constituyen:
Y es cero porque la entropía es una función de estado, y en un ciclo el estado inicial coincide con el final.
En un ciclo de Carnot, el gas ideal absorbe calor del foco caliente (Q1) experimentando una expansión isoterma. Por tanto el foco caliente cede esa misma cantidad de calor, -Q1, a temperatura constante T1. Recordemos que un foco térmico es un dispositivo que puede intercambiar calor indefinidamente sin variar su temperatura.
En la siguiente figura se ha representado esquemáticamente el funcionamiento de la máquina de Carnot:
La compresión isoterma del ciclo de Carnot tiene lugar en contacto con el foco frío a temperatura T2. Durante la misma el gas cede una cantidad de calor Q2 que, con respecto al foco frío, es calor absorbido (y por tanto positivo).
La variación de entropía entre dos estados cualesquiera A y B viene dada por:
Y, como la temperatura de los focos no varía, podemos sacar T de la integral. De tal manera que las variaciones de entropía del foco caliente y del foco frío vienen dadas respectivamente por:
Como puedes observar, la variación de entropía del foco caliente es igual a la que experimenta el gas durante la expansión isoterma AB, pero cambiada de signo; la variación de entropía del foco frío es igual a la que experimenta el gas durante la compresión isoterma CD cambiada de signo. Por tanto:
La variación de entropía del universo es la suma de la variación de entropía del sistema (en este caso la máquina de Carnot) y de sus alrededores (en este caso los focos térmicos).
Sumando la variación de entropía de la máquina de Carnot y la de los dos focos térmicos, vemos que la variación de entropía del universo es cero porque la máquina de Carnot funciona reversiblemente.
Si una máquina que funciona entre los mismos focos a temperaturas T1 y T2 tiene un rendimiento igual al 20% del de la máquina de Carnot, significa que funciona irreversiblemente, porque todas las máquinas reversibles que operan entre los mismos focos tienen el mismo rendimiento.
El rendimiento de la máquina vendrá dado por:
Donde W es el trabajo total suministrado por la máquina y Q1 el calor absorbido del foco caliente.
El calor absorbido es el mismo que en el caso de la máquina de Carnot:
Y su rendimiento es el 20% del de la máquina de Carnot:
Con estos dos datos podemos obtener el calor Q2 que cede al foco frío:
Y sustituyendo:
La variación de entropía del fluido de trabajo de la máquina es cero, ya que la entropía es una función de estado y por tanto su variación únicamente depende de los estados inicial y final (que en el caso de un cliclo coinciden).
La variación de entropía de los focos térmicos viene dada por:
La variación de entropía del universo es la suma de las tres:
La variación de entropía del universo es positiva porque la máquina funciona irreversiblemente.
La página Variación de entropía de un foco térmico y del universo (máquina de Carnot) ha sido originalmente publicada en YouPhysics
