Una cierta cantidad de gas ideal monoatómico se encuentra inicialmente a una temperatura T1 = 400 K, a una presión p1 = 5 atm y ocupa un volumen V1 = 0.6 m3. El gas se expande isotérmicamente hasta alcanzar un volumen V2 = 3 m3. Después se disminuye su presión a volumen constante hasta un estado 3 con una presión tal que, siguiendo una compresión adiabática, regresa al estado inicial. Todos los procesos son reversibles.
- Dibujar el ciclo en un diagrama p-V.
- Utilizando la ecuación de una transformación adiabática (entre los estados 3 y 1), calcular la presión en el estado 3. ¿Cuál es la temperatura en ese punto?
- Calcular el trabajo realizado, la variación de energía interna y el calor intercambiado por el gas en cada etapa y en el ciclo completo.
Expresar los resultados en unidades del Sistema Internacional.
Datos: R = 8.31 J/mol K; CV = (3/2)R
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Solución:
Este problema es una aplicación del primer principio de la Termodinámica. Antes de resolverlo te recomendamos echar un vistazo a la página: transformaciones reversibles de un gas ideal.
En la siguiente figura se ha representado el ciclo descrito por el gas ideal:
La ecuación de una transformación adiabática escrita en función de la presión y el volumen es:
donde γ es el coeficiente adiabático, que en el caso de un gas ideal monoatómico viene dado por:
Conocemos la presión y el volumen en el estado 1; además, el volumen en el estado 3 es el mismo que en el 2 (ver el ciclo representado en el diagrama p-V) podemos utilizar la ecuación de la adiabática para determinar la presión en el estado 3:
Donde hemos expresado la presión en pascales utilizando la conversión:
Para calcular la temperatura en el estado 3 podemos utilizar la ecuación de estado de un gas ideal aplicada al estado 3, pero antes debemos determinar el número de moles. Y lo hacemos aplicando la ecuación de estado de un gas ideal al estado 1:
Y a continuación volvemos a usar la ecuación de estado de un gas ideal en el estado 3:
Que como era de esperar es inferior a la temperatura en el estado 2, ya que entre el estado 2 y el 3 la presión disminuye a volumen constante.
Cuando trabajes con este tipo de problemas ten en cuenta que los resultados numéricos serán ligeramente distintos dependiendo del número de decimales que utilices para hacer las operaciones.
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Vamos a calcular el trabajo realizado, el calor intercambiado y la variación de energía interna en cada una de las etapas.
Isoterma 1-2: Como es una expansión, el trabajo realizado por el gas y el calor intercambiado por el mismo deben ser positivos.
Isócora 2-3: La temperatura del gas disminuye, por lo que cede calor y su energía interna disminuye.
Adiabática 3-1: En esta compresión adiabática la temperatura del gas aumenta, por lo que su energía interna aumentará. Además, como es una compresión, el trabajo realizado por el gas es negativo.
El trabajo, el calor y la variación de energía interna en el ciclo completo son respectivamente:
El trabajo es positivo puesto que el gas describe el ciclo en sentido horario; la variación de energía interna es cero porque al ser una función de estado no varía en un ciclo. Por tanto, el calor total intercambiado es igual al trabajo realizado por el gas.
El área azul de la siguiente figura es el trabajo realizado por el gas en el ciclo completo:
