Ciclo Diesel teórico

Enunciado:

La figura representa un ciclo teórico de Diesel. La relación de compresión V1/V2 vale 18 y el calor transferido al fluido (que supondremos aire que se comporta como un gas ideal diatómico) en cada ciclo es de 50 kJ/mol. Al inicio de la compresión (punto 1) la presión es de 1 atm y la temperatura de 200C. Sabiendo que el coeficiente adiabático es γ = 1.4, calcular:

  1. La presión y la temperatura en cada punto del ciclo.
  2. El trabajo, el calor intercambiado y la variación de energía interna en cada etapa del ciclo así como en el ciclo completo por cada mol de gas ideal.
  3. El rendimiento del ciclo.
  4. El rendimiento que tendría una máquina de Carnot operando entre las temperaturas extremas del ciclo.

Expresar los resultados en unidades del Sistema Internacional.

Datos: R = 8.31 J/mol K;

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Solución:

El ciclo teórico Diesel es una idealización de cómo funciona el motor de los coches diesel. En él se asume que el fluido de trabajo del motor es un gas ideal (aire) y que todas las transformaciones del ciclo son reversibles.

El ciclo Diesel (ver figura) consta de cuatro etapas:

1-2 Compresión adiabática
2-3 Expansión isóbara
3-4 Expansión adiabática
4-1 Enfriamiento isócoro

En este problema se trata de determinar la presión y la temperatura en los cuatro puntos del ciclo así como el calor, el trabajo y la variación de energía interna en cada uno de ellos y en el ciclo completo. El dato principal de este problema es la denominada relación de compresión: relación entre el volumen de aire dentro del ciclindro cuando el pistón está en la parte más baja (volumen máximo) y el volumen que ocupa el aire cuando el pistón está en la parte más alta (volumen mínimo) de su carrera.

Con este dato y los valores iniciales de la presión y la temperatura podemos calcular la presión y la temperatura en los demás puntos utilizando la ecuación de estado de un gas ideal y la ecuación de una adiabática.

La ecuación de la transformación adiabática entre los puntos 1 y 2 viene dada por:

Y sustituyendo los datos del problema que previamente hemos de pasar al Sistema Internacional:

Para hallar la temperatura en el punto 2 del ciclo utilizamos la ecuación de la adiabática expresada en función de la presión y la temperatura:

Despejando T2 y sustituyendo la temperatura T1 expresada en kelvin:

La presión en el estado 3 es la misma que en el estado 2, ya que la transformación que une ambos es isóbara:

Para calcular la temperatura del gas en el estado 3 debemos utilizar el dato del calor suministrado al fluido por mol en cada ciclo. En el ciclo Diesel las dos únicas etapas donde se intercambia calor son la 2-3 y la 4-1. Pero en esta última la temperatura del gas disminuye, por lo que el calor solo puede ser suministrado al fluido en la etapa 2-3, que es isóbara:

Donde Cp es la capacidad calorífica molar de un gas ideal (en este caso diatómico) a presión constante.

Sustituyendo los datos:

Para hallar la presión y la temperatura en el estado 4 vamos a calcular en primer lugar la relación entre el volumen del gas en los estados 4 y 3:

Conociendo la relación de volúmenes que acabamos de calcular podemos utilizar la ecuación de la adiabática que conecta los estados 3 y 4:

Por último, la temperatura en el estado 4 viene dada por:

Para hacernos una idea de si los resultados que hemos calculado son correctos, podemos dibujar la isoterma (que para un gas ideal es una hipérbola) que pasa por cada uno de los cuatro estados del ciclo Diesel:

Cuanto más arriba está una isoterma mayor es su temperatura. Por tanto en el ciclo Diesel el gas alcanza su temperatura máxima en el estado 3. Y este resultado concuerda con los resultados obtenidos.


Para hallar el trabajo, el calor intercambiado y la variación de energía interna en cada etapa del ciclo utilizaremos las expresiones deducidas para cada una de las transformaciones que lo constituyen. Pincha en los enlaces para ver cómo se obtienen.

1-2 Compresión adiabática

Por definición el calor intercambiado en una transformación adiabática es cero. Por tanto Q12 = 0

El trabajo realizado por el gas en una transformación adiabática es igual a la variación de su energía interna cambiada de signo:

Sustituyendo los datos:

Como era de esperar, el trabajo en la compresión adiabática es negativo porque el volumen del gas disminuye.

2-3 Expansión isóbara

El trabajo realizado, el calor intercambiado y la variación de energía interna de un gas que experimenta una transformación a presión constante vienen dados por:

Y sustituyendo los datos del problema:

Obviamente, el calor que acabamos de calcular coincide con el dato del calor suministrado al gas en el ciclo.

3-4 Expansión adiabática

Para la expansión adiabática utilizamos las mismas expresiones que para la compresión adiabática 1-2:

La variación de energía interna del gas es negativa porque su temperatura disminuye, y el trabajo que realiza es positivo porque su volumen aumenta (se expande).

4-1 Enfriamiento isócoro

En este caso el trabajo, calor intercambiado y variación de energía interna vienen dados por:

Para calcular el trabajo total realizado por el gas en el ciclo, su variación de energía interna y el calor que ha intercambiado sumamos estas cantidades para todas las etapas del ciclo:

Y sustituyendo:

La variación de energía interna en un ciclo siempre es cero: al ser una función de estado, como el estado final coincide con el inicial su variación es nula. Y como tiene que cumplirse el  primer principio de la Termodinámica, el calor total intercambiado por el gas ha de ser igual al trabajo que realiza.

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El rendimiento de un ciclo viene dado por:

Donde W es el trabajo total realizado por el gas y Q1 es el calor absorbido. En el ciclo Diesel únicamente se absorbe calor en la expansión isóbara 2-3. Además, el trabajo total realizado es la diferencia entre el calor absorbido y el valor absoluto del calor cedido. Por tanto:

Observa que el rendimiento del ciclo Diesel no depende de la cantidad de sustancia que experimenta el ciclo.

Y finalmente sustituyendo el coeficiente adiabático así como las temperaturas anteriormente calculadas:

Que por supuesto es menor que uno porque ningún ciclo puede tener un rendimiento del 100%. Si lo tuviera se violaría el segundo principio de la Termodinámica.


Las temperaturas extremas del ciclo Diesel descrito en este problema son, como se aprecia en la figura superior, T1 = 293 K y T3 = 2650 K. El rendimiento de una máquina de Carnot operando entre estas dos temperaturas es:

Que es mayor que el del ciclo Diesel puesto que la máquina de Carnot es la que mayor rendimiento tiene entre dos temperaturas determinadas. Y por supuesto es menor del 100% puesto que ninguna máquina térmica puede convertir todo el calor que se le suministra en trabajo.

La página Ciclo Diesel teórico ha sido originalmente publicada en YouPhysics