La figura representa un ciclo teórico de Otto. La relación de compresión V1/V2 vale 8 y el calor transferido al fluido (que supondremos aire que se comporta como un gas ideal diatómico) en cada ciclo es de 25 kJ/mol. Al inicio de la compresión (punto 1) la presión es de 1 atm y la temperatura de 200C. Sabiendo que el coeficiente adiabático es γ = 1.4, calcular:
- La presión y la temperatura en cada punto del ciclo.
- El trabajo, el calor intercambiado y la variación de energía interna en cada etapa del ciclo así como en el ciclo completo por cada mol de gas ideal.
- El rendimiento del ciclo.
- El rendimiento que tendría una máquina de Carnot operando entre las temperaturas extremas del ciclo.
Expresar los resultados en unidades del Sistema Internacional.
Datos: R = 8.31 J/mol K;
Solución:
El ciclo teórico de Otto consta de cuatro etapas:
1-2 Compresión adiabática
2-3 Calentamiento isócoro
3-4 Expansión adiabática
4-1 Enfriamiento isócoro
La etapa 0-1 mostrada en la figura representa la fase de admisión: la mezcla combustible-aire entra en la cámara.
En este problema se trata de determinar la presión y la temperatura en los cuatro puntos del ciclo así como el calor, el trabajo y la variación de energía interna en cada uno de ellos y en el ciclo completo. El dato principal de este problema es la denominada relación de compresión: relación entre el volumen de aire dentro del ciclindro cuando el pistón está en la parte más baja y el volumen que ocupa el aire cuando el pistón está en la parte más alta de su carrera.
Con este dato y los valores iniciales de la presión y la temperatura podemos calcular la presión y la temperatura en los demás puntos utilizando la ecuación de estado de un gas ideal y la ecuación de una adiabática.
La ecuación de la transformación adiabática entre los puntos 1 y 2 viene dada por:
Y sustituyendo los datos del problema que previamente hemos de pasar al Sistema Internacional:
Para hallar la temperatura en el punto 2 del ciclo utilizamos la ecuación de la adiabática expresada en función de la presión y la temperatura:
Despejando T2 y sustituyendo la temperatura T1 expresada en kelvin:
Para hallar la temperatura en el estado 3 debemos tener en cuenta el calor transferido al fluido de trabajo. La etapa 2-3 es la única en la que el gas absorbe calor, puesto que las etapas 1-2 y 3-4 son adiabáticas (y por tanto no se produce intercambio de calor) y durante la 4-1 el gas se enfría (cede calor).
El calor intercambiado en la transformación isocora 2-3 viene dado por:
Donde CV es la capacidad calorífica molar de un gas ideal (en este caso diatómico) a volumen constante.
Sustituyendo y despejando:
Para hallar la presión en el estado 3 tenemos en cuenta el hecho de que la transformación 2-3 es isócora, por lo que el volumen del gas no varía durante la misma. Por tanto:
Que como se observa en la figura es la presión máxima que el gas alcanza en el ciclo.
La presión en el estado 4 se determina utilizando la ecuación de la transformación adiabática que une los estados 3 y 4. Además, como se observa en la figura, el cociente de volúmenes entre ambos es igual a la relación de compresión:
Para terminar, calculamos la temperatura en el estado 4 teniendo en cuenta que la transformación 4-1 es isócora y por tanto:
Conociendo la temperatura y la presión en todos los puntos del ciclo podemos calcular el trabajo, el calor intercambiado y la variación de energía interna en cada una de las etapas que lo constituyen. Para ello utilizaremos las expresiones deducidas para cada una de las transformaciones que lo constituyen. Pincha en los enlaces para ver cómo se obtienen.
Por definición el calor intercambiado en una transformación adiabática es cero. Por tanto Q12 = 0
El trabajo realizado por el gas en una transformación adiabática es igual a la variación de su energía interna cambiada de signo:
Y sustituyendo los datos:
Como era de esperar, el trabajo en la compresión adiabática es negativo porque el volumen del gas disminuye.
El trabajo en una transformación isocora es cero puesto que no hay variación de volumen. Por tanto, aplicando el primer principio de la Termodinámica, el calor intercambiado por el gas será igual a la variación de su energía interna:
Que corresponde con el dato suministrado en el problema del calor transferido al gas en cada ciclo.
Para la expansión adiabática utilizamos las mismas expresiones que para la compresión adiabática 1-2:
Para terminar, durante el enfriamiento isócoro el gas no realiza trabajo, por lo que el calor intercambiado es igual a la variación de energía interna que experimenta el gas:
Para calcular el trabajo total realizado por el gas en el ciclo, su variación de energía interna y el calor que ha intercambiado sumamos estas cantidades para todas las etapas del ciclo:
Y sustituyendo:
La variación de energía interna en un ciclo siempre es cero: al ser una función de estado, como el estado final coincide con el inicial su variación es nula. Y como tiene que cumplirse el primer principio de la Termodinámica, el calor total intercambiado por el gas ha de ser igual al trabajo que realiza.
El rendimiento de un ciclo viene dado por:
Donde W es el trabajo total realizado por el gas y Q1 es el calor absorbido. En el ciclo Otto únicamente se absorbe calor en la transformación isocora 2-3. Además, el trabajo total realizado es la diferencia entre el calor absorbido y el valor absoluto del calor cedido (transformación 4-1). Por tanto:
Observa que el rendimiento del ciclo de Otto no depende de la cantidad de sustancia que experimenta el ciclo. Sustituyendo:
Que por supuesto es menor que uno porque ningún ciclo puede tener un rendimiento del 100%. Si lo tuviera se violaría el segundo principio de la Termodinámica.
Las temperaturas extremas del ciclo Otto descrito en este problema son T1 = 293 K y T3 = 1876 K. El rendimiento de una máquina de Carnot operando entre estas dos temperaturas es:
Que es mayor que el del ciclo Otto puesto que la máquina de Carnot es la que mayor rendimiento tiene entre dos temperaturas determinadas. Y por supuesto es menor del 100% puesto que ninguna máquina térmica puede convertir todo el calor que se le suministra en trabajo.
La página Ciclo Otto teórico ha sido originalmente publicada en YouPhysics
