Cycle d’Otto théorique

Énoncé:

La figure ci-dessous représente un cycle d’Otto théorique (ou cycle de Beau de Rochas ou cycle à quatre temps). Le taux de compression (ou rapport volumétrique) V1/V2 vaut 8 et la chaleur transférée au fluide de travail (nous supposerons que l’air se comporte comme un gaz parfait diatomique) à chaque cycle est 25 kJ/mol. La pression vaut 1 atm au début de la compression (point 1), et la température est égale à 200C. Sachant que le coefficient adiabatique (ou indice adiabatique) est γ = 1.4, calculez:

  1. La pression et la température pour chaque point du cycle.
  2. Le travail, la chaleur transférée et la variation de l’énergie interne pour chaque étape du cycle ainsi que pour le cycle complet pour chaque mole de gaz parfait.
  3. Le rendement du cycle.
  4. Le rendement qu’aurait une machine de Carnot qui fonctionnerait avec les températures extrêmes du cycle.

Exprimez les résultats en utilisant les unités du Système International.

Données: R = 8.31 J/mol K;

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Solution:

Le cycle d’Otto théorique est constitué de quatre étapes:
1-2 Compression adiabatique
2-3 Réchauffement (combustion) isochore
3-4 Détente adiabatique
4-1 Refroidissement (détente) isochore

L’étape 0-1 de la figure correspond à la phase d’admission: le mélange carburant-air entre dans le cylindre.

L’objectif de ce problème est de déterminer la pression et la température pour les quatre points du cycle, ainsi que la chaleur, le travail et la variation de l’énergie interne pour ces points et pour le cycle complet. La donnée principale de ce problème est le taux de compression (ou rapport volumétrique): c’est la relation entre le volume d’air dans le cylindre lorsque le piston se trouve dans la partie la plus basse (volume maximum) et le volume qu’occupe l’air lorsque le piston se trouve dans la partie la plus haute (volume minimum) de sa course.

Avec cette information et les valeurs initiales de la pression et de la température, nous pouvons calculer la pression et la température pour les autres points en utilisant l’équation d’état d’un gaz parfait  et l’équation d’une transformation adiabatique.

L’équation d’une transformation adiabatique entre les points 1 et 2 est donnée par:

Et en substituant avec les données du problème que nous avons converties aux unités du Système International nous obtenons:

Nous utilisons l’équation de la transformation adiabatique en fonction de la pression et de la température pour trouver la température au point 2 du cycle:

En isolant T2 et en substituant la température T1 exprimée en kelvin nous obtenons:

Nous devons prendre en compte la chaleur transférée au fluide de travail pour calculer la température dans l’état 3. L’étape 2-3 est la seule durant laquelle le gaz absorbe de la chaleur, car les étapes 1-2 et 3-4 sont adiabatiques (et par conséquent elles ne transfèrent pas de chaleur) et le gaz se refroidit durant l’état 4-1.

La chaleur transférée dans la transformation isochore 2-3 est donnée par:

Où CV est la capacité calorifique molaire d’un gaz parfait (diatomique dans ce cas) à volume constant.

En substituant et en isolant, on obtient:

Pour calculer la pression dans l’état 3, il faut prendre en compte le fait que la transformation 2-3 est isochore, le volume du gaz ne changera donc pas durant celle-ci. Par conséquent:

Qui est la pression maximale qu’atteint le gaz dans le cycle (comme vous pouvez le constater dans la figure).

L’équation de la transformation adiabatique qui relie les états 3 et 4 permet de déterminer la pression à l’état 4. De plus, comme vous pouvez l’observer dans la figure, le quotient des volumes est égale au taux de compression:

Pour finir, nous calculons la température pour l’état 4 en prenant en compte le fait que la transformation 4-1 est isochore et que par conséquent:

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Maintenant que nous connaissons la température et la pression pour tous les points du cycle, nous pouvons calculer le travail, la chaleur transférée et la variation de l’énergie interne pour les différentes étapes du cycle. Nous utiliserons pour ce faire les expressions déduites pour chacune des transformations qui le constituent. Cliquez sur les liens pour voir comment elles sont obtenues.

1-2 Compression adiabatique

Par définition, la chaleur transférée dans une transformation adiabatique est nulle. Par conséquent Q12 = 0.

Le travail fourni par le gaz dans une transformation adiabatique est égal à la variation de son énergie interne en changeant le signe:

Et en substituant avec les données, on obtient:

Comme nous nous y attendions, le travail durant la compression adiabatique est négatif car le volume du gaz diminue.

2-3 Réchauffement (combustion) isochore

Le travail est nul durant une transformation isochore car il n’y a pas de variation du volume. Par conséquent, en appliquant le premier principe de la Thermodynamique, la chaleur transférée par le gaz sera égale à la variation de son énergie interne:

Qui correspond à l’information fournie dans l’énoncé du problème pour la chaleur transférée au fluide de travail à chaque cycle.

3-4 Détente adiabatique

Nous utiliserons les mêmes expressions que pour la compression adiabatique 1-2 pour la détente adiabatique:

4-1 Refroidissement isochore

Pour terminer, le gaz ne fournit pas de travail durant le refroidissement isochore, par conséquent la chaleur transférée est égale à la variation de l’énergie interne que subit le gaz:

Pour calculer le travail total fourni par le gaz dans le cycle, sa variation d’énergie interne et la chaleur qu’il a échangé, nous ferrons la somme des quantités obtenues pour chacune des étapes du cycle:

Et en substituant on obtient:

La variation de l’énergie interne dans un cycle est toujours nulle: comme c’est une fonction d’état et comme l’état final coïncide avec l’état initial, sa variation est nulle. D’autre part, le premier principe de la Thermodynamique doit être vérifié, la chaleur totale transférée par le gaz doit être égale au travail qu’il fournit.


Le rendement d’un cycle d’une machine thermique est donné par:

Où W est le travail total fourni par le gaz et Q1 est la chaleur absorbée. La chaleur est uniquement absorbée durant la transformation isochore 2-3 dans le cycle d’Otto. D’autre part, le travail total fourni est la différence entre la chaleur absorbée et la valeur absolue de la chaleur cédée (transformation 4-1). Par conséquent:

Observez que le rendement du cycle d’Otto ne dépend pas de la quantité de fluide dans le cycle. En substituant on obtient:

Qui est bien sûr inférieur à un car aucun cycle ne peut avoir un rendement de 100%. Si c’était le cas, il violerait le deuxième principe de la Thermodynamique.


Les températures extrêmes du cycle d’Otto décrit dans ce problème sont T1 = 293 K et T3 = 1876 K. Le rendement d’une machine de Carnot qui fonctionnerait entre ces deux températures serait:

Qui est plus grand que celui d’un cycle d’Otto car la machine de Carnot est celle qui a le rendement le plus élevé qui peut être atteint par une machine thermique entre deux températures déterminées. Il est bien-sûr aussi inférieur à 100% car aucune machine thermique ne peut convertir toute la chaleur qui lui est fournie en travail.

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