Détente libre de Joule-Gay-Lussac

Énoncé:

Un récipient avec des parois adiabatiques est divisé en deux compartiments égaux. Le compartiment de gauche contient n moles d’un gaz parfait alors que celui de droite est vide. Déterminez la variation de l’entropie que subit le gaz ainsi que celle de l’univers lorsqu’on supprime la paroi qui sépare les deux compartiments.

Données: R = 8.31 J/mol K

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Solution:

La transformation que subit le gaz parfait lorsqu’il passe de l’état A à l’état B est connue comme détente libre de Joule-Gay-Lussac. C’est une transformation irréversible car, comme le gaz se détend dans le vide, il ne peut pas retourner à l’état initial A depuis l’état B.

La variation de l’entropie est donnée par:

Où δQR est la quantité de chaleur transférée par le système lorsqu’il subit une transformation réversible.

Le gaz n’échange pas de chaleur lorsqu’il se détend en passant de l’état A à l’état B, car le récipient a des parois adiabatiques. Par conséquent, la transformation AB est:

Où nous avons utilisé l’exposant I pour indiquer que la chaleur a été transférée irréversiblement et que par conséquent nous ne pouvons pas l’utiliser pour calculer la variation de l’entropie entre les états A et B.

Mais, comme l’entropie est une fonction d’état, nous pouvons utiliser une transformation réversible pour relier les états A et B et calculer la variation de l’entropie pour celle-ci. Quelle que soit la transformation qui relie les étapes A et B (qu’elle soit réversible ou non), la variation de l’entropie sera toujours la même. L’important est que les états initial et final soient toujours A et B.

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Le gaz ne produit pas de travail (W = 0) lorsqu’il se détend librement pour passer de l’état A à l’état B car il se détend dans le vide. Nous avons vu d’autre part qu’il ne transfert pas non plus de chaleur. En utilisant le premier principe de la Thermodynamique nous avons donc:

C’est à dire que l’énergie interne du gaz parfait est la même dans l’état A que dans l’état B. Mais l’énergie interne d’un gaz parfait dépend uniquement de la température, donc:

Par conséquent, la température du gaz parfait est la même dans l’état A que dans l’état B. Nous pouvons donc relier les états A et B par une transformation isotherme et calculer la variation de l’entropie pour celle-ci. Nous avons représenté cette transformation (en vert) dans le diagramme PV suivant:

La variation de l’entropie entre les états A et B pour la transformation isotherme est:

Comme les deux compartiments du récipient ont le même volume, le gaz occupera dans l’état B un volume double de celui qu’il occupait dans l’état A. En substituant on obtient:

La variation de l’entropie de l’univers est la somme de celles du gaz et de son milieu extérieur. Cette dernière est nulle car le gaz est contenu dans récipient aux parois adiabatiques et ne peut donc pas échanger de chaleur avec le milieu extérieur.

Qui est positif car le gaz a subit une transformation irréversible et dans ce cas l’entropie de l’univers augmente toujours.

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