Une mole d’un gaz parfait monoatomique décrit le cycle de Carnot représenté dans la figure ci-dessous. Le volume qu’occupe le gaz dans l’état A est VA = 2 10-3 m3. Dans l’état B son volume est VB = 5 10-3 m3. Après la détente adiabatique, le gaz occupe un volume VC = 20 10-3 m3. La température du réservoir thermique est de 500 K. Calculez:
- La température du réservoir thermique froid.
- Le rendement du cycle.
- La variation de l’entropie du gaz pour chacune des étapes ainsi que pour le cycle complet.
- La variation de l’entropie des réservoirs thermiques.
- La variation de l’entropie de l’univers pour chaque cycle.
- On suppose qu’une machine thermique a un rendement égale à 20% de celui de la machine de Carnot en utilisant les mêmes réservoirs thermiques. Déterminez la variation de l’entropie du fluide de travail de cette machine, des réservoirs thermiques et de l’univers pour chaque cycle pour une même quantité de chaleur absorbée par le réservoir thermique chaud.
Exprimez les résultats avec les unités du Système International.
Données: R = 8.31 J/mol K; CV = (3/2)R; γ = 1.67
Solution:
Le cycle de Carnot est constitué de quatre processus réversibles:
A-B Détente isotherme
B-C Détente adiabatique
C-D Compression isotherme
D-A Compression adiabatique
Nous utiliserons l’équation de la transformation adiabatique qui connecte les états B et C pour déterminer la température du réservoir thermique froid (T2 dans la figure).
Le rendement de la machine de Carnot est donné par:
La variation de l’entropie du gaz pour les transformations adiabatiques du cycle de Carnot est nulle (QR = 0).
La variation de l’entropie du gaz dans la détente isotherme AB est donnée par:
Nous calculons le volume dans l’état D en utilisant l’équation de la transformation adiabatique qui connecte les états D et A afin de pouvoir appliquer la même expression à la transformation CD.
Par conséquent, la variation de l’entropie du gaz dans la compression isotherme C et D est:
La variation de l’entropie du gaz pour le cycle complet est égale à la somme des variations d’entropie du gaz pour les différentes étapes du cycle:
Et elle est nulle car l’entropie est une fonction d’état, et dans un cycle l’état initial coïncide avec l’état final.
Dans un cycle de Carnot, le gaz parfait absorbe une quantité de chaleur du réservoir thermique chaud (Q1) en subissant une détente isotherme. Par conséquent, le réservoir thermique chaud cède cette même quantité de chaleur -Q1 à température constante T1. Rappelez-vous qu’un réservoir thermique (ou réservoir de chaleur) est un dispositif qui peut échanger de la chaleur indéfiniment sans que sa température change.
Nous avons représenté schématiquement le fonctionnement d’une machine de Carnot dans la figure ci-dessous:
La compression isotherme du cycle de Carnot se produit au contact du réservoir thermique froid de température T2. Le gaz cède une quantité de chaleur Q2 durant cette compression, qui correspond à la chaleur absorbée par le réservoir thermique froid (positive par conséquent).
La variation de l’entropie entre deux états quelconques A et B est donnée par:
Comme la température des réservoirs thermiques ne change pas, nous pouvons sortir T de l’intégrale. Par conséquent, les variations de l’entropie des réservoirs thermiques chauds et froids sont respectivement:
Comme vous pouvez le constater, la variation de l’entropie du réservoir thermique chaud est l’opposée de celle qu’expérimente le gaz durant la détente isotherme AB; la variation de l’entropie du réservoir thermique froid est l’opposée de celle qu’expérimente le gaz durant la compression isotherme CD. Par conséquent:
La variation de l’entropie de l’univers est la somme de la variation de l’entropie du système (dans ce cas la machine de Carnot) et des milieux extérieurs (dans ce cas les réservoirs thermiques).
En faisant la somme de la variation de l’entropie de la machine de Carnot et des deux réservoirs thermiques, nous pouvons constater que la variation de l’entropie de l’univers est nulle car la machine de Carnot fonctionne de façon réversible.
Si une machine thermique fonctionne avec les mêmes réservoirs thermiques de températures T1 et T2 et a un rendement égale à 20% de celui d’une machine de Carnot, cela signifie qu’elle fonctionne de façon irréversible, car toutes les machines réversibles qui fonctionnent entre les même réservoirs thermiques ont le même rendement.
Le rendement de la machine sera donné par:
Où W est le travail total fourni par la machine et Q1 la quantité de chaleur absorbée du réservoir thermique chaud.
La quantité de chaleur absorbée est la même que celle absorbée dans le cas de la machine de Carnot:
Et son rendement est 20% de celui de la machine de Carnot:
Nous pouvons donc obtenir la quantité de chaleur Q2 qu’elle cède au réservoir froid en utilisant ces deux données:
Et en substituant on obtient:
La variation de l’entropie du fluide de travail de la macine est nulle, car l’entropie est une fonction d’état et par conséquent sa variation dépend uniquement des états initial et final (qui coïncident dans le cas d’un cycle).
La variation de l’entropie des réservoirs thermiques est donnée par:
La variation de l’entropie de l’univers est la somme des trois:
La variation de l’entropie de l’univers est positive car la machine fonctionne de façon irréversible.
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