Calcul du travail effectué par un gaz parfait

Énoncé:

Une certaine quantité de gaz subit une transformation thermodynamique réversible AB. Le volume est VA = 2 m3 dans l’état initial A et il est VB = 5 m3 dans l’état B. La variation de la pression en fonction du volume pour cette transformation est donnée par l’expression suivante (dans les unités du Système International):

  1. Dessinez cette transformation thermodynamique dans un diagramme PV en incluant les états A et B sur la courbe ainsi que les valeurs de p et V sur les axes pour ces deux états.
  2. Déterminez sans faire de calculs si la température du gaz augmente ou diminue lorsque le gaz passe de l’état A à l’état B?
  3. Déterminez sans faire de calculs si le travail est positif ou négatif lorsque le gaz passe de l’état A à l’état B? Pourquoi?
  4. Déterminez le travail effectué par le gaz lorsqu’il passe de l’état A à l’état B.
  5. En utilisant le diagramme de la question a, calculez graphiquement le travail pour vérifier qu’il est le même que celui calculé pour la question d.
  6. Si la quantité de gaz parfait est n = 10-2 moles, calculez la température du gaz pour les états A et B.

Le gaz subit une transformation à volume constant à partir de l’état B jusqu’à l’état C, pour lequel la pression est la même que pour l’état A, puis une transformation à pression constante jusqu’à l’état initial A.

  1. Dessinez la transformation ABCA dans un diagramme PV.
  2. Quelle est la valeur du travail pour la transformation BC? Pourquoi? La température augmente-t-elle ou baisse-t-elle pour cette transformation?
  3. Quel est le signe du travail de la transformation CA? Pourquoi? La température augmente-t-elle ou baisse-t-elle pour cette transformation?
  4. Sans faire de calculs, le travail de la transformation ABCA est-il positif ou négatif? Pourquoi?
  5. Calculez ce travail graphiquement sur le diagramme PV.

Exprimez les résultats avec les unités du Système International.

Données: R = 8.31 J/mol K

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Solution:

Nous allons utiliser le concept de travail fourni par un gaz dans ce problème. La transformation que subit le gaz, les états initial A et final B ainsi que les isothermes pour ces points sont représentés dans la figure ci-dessous. Comme le gaz est parfait, ses isothermes sont des hyperboles.


La température du gaz augmente lorsqu’il passe de l’état A à l’état B, car l’état B se trouve sur une isotherme qui est plus haute que celle qui passe par l’état A (comme vous pouvez le constater dans la figure ci-dessus).


Comme le gaz se détend (il se dilate), le travail qu’il effectue est positif (avec le critère de signes que nous utilisons dans ces pages). Nous appliquons la définition de travail effectué par un gaz pour le calculer et nous substituons la pression en fonction du volume ainsi que les volumes initial et final pour obtenir:

Graphiquement, le travail correspond à l’aire sous la courbe (hachée en bleu dans la figure ci-dessous) qui représente la transformation entre les états A et B:

C’est à dire que le travail est la somme des aires du rectangle et du triangle délimité par la transformation dans la partie droite de la figure ci-dessus:

Comme nous l’attendions, le résultat est le même que celui obtenu avec la définition du travail.

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Pour calculer la température dans les états A et B, nous appliquerons l’équation d’état d’un gaz parfait:


Nous avons représenté la transformation ABCA dans la figure suivante:

Le travail est nul pour la transformation BC car elle est isochore et par conséquent il n’y a pas de variation du volume durant celle-ci. La température dans l’état C est plus basse que celle dans l’état B car, comme vous pouvez l’observer dans la figure supérieure, l’isotherme qui passe par ce point (en vert) est plus basse que celle qui passe par B.


Le travail pour la transformation CA est négatif car le gaz se comprime durante celle-ci. La température du gaz diminue car l’isotherme qui passe par A est plus basse que celle qui passe par C.

Le travail pour la transformation ABCA est positif car il s’agit d’un cycle parcouru dans le sens horaire. Il est égal à l’aire délimitée par la transformation:

 

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