Cycle Diesel théorique

Énoncé:

La figure ci-dessous représente un cycle Diesel théorique. Le taux de compression (ou rapport volumétrique) V1/V2 vaut 18 et la chaleur transférée au fluide de travail (nous supposerons que l’air se comporte comme un gaz parfait diatomique) pour chaque cycle est égale à 50 kJ/mol. La pression vaut 1 atm au début de la compression (point 1) et la température est égale à 200C. Sachant que le coefficient adiabatique est γ = 1.4, calculez:

  1. La pression et la température pour chaque point du cycle.
  2. Le travail, la chaleur transférée et la variation d’énergie interne pour chaque étape du cycle ainsi que pour le cycle complet et cela pour chaque mole de gaz parfait.
  3. Le rendement du cycle.
  4. Le rendement qu’aurait une machine de Carnot qui fonctionnerait avec les températures extrêmes du cycle.

Exprimez les résultats en utilisant les unités du Système International.

Données: R = 8.31 J/mol K;

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Solution:

Le cycle Diesel théorique est une idéalisation du fonctionnement d’un moteur d’un véhicule diesel. Nous supposerons que le fluide de travail du moteur est un gaz parfait (air) et que toutes les transformations sont réversibles.

Le cycle Diesel (voir la figure) est constitué de quatre étapes:

1-2 Compression adiabatique
2-3 Détente isobare
3-4 Détente adiabatique
4-1 Refroidissement isochore

L’objectif de ce problème est de déterminer la pression et la température pour les quatre points du cycle, ainsi que la chaleur, le travail et la variation de l’énergie interne pour ces points et pour le cycle complet. La donnée principale de ce problème est le taux de compression (ou rapport volumétrique) : c’est la relation entre le volume d’air dans le cylindre lorsque le piston se trouve dans la partie la plus basse (volume maximum) et le volume qu’occupe l’air lorsque le piston se trouve dans la partie la plus haute (volume minimum) de sa course.

Avec cette information et les valeurs initiales de la pression et de la température, nous pouvons calculer la pression et la température pour les autres points en utilisant l’équation d’état d’un gaz parfait et l’équation d’une transformation adiabatique.

L’équation d’une transformation adiabatique entre les points 1 et 2 est donnée par:

Et en substituant avec les données du problème que nous avons converties aux unités du Système International nous obtenons:

Nous utilisons l’équation de la transformation adiabatique en fonction de la pression et de la température pour trouver la température au point 2 du cycle:

En isolant T2 et en substituant la température T1 exprimée en kelvin nous obtenons:

La pression dans l’état 3 est la même que dans l’état 2, car la transformation qui les unis est isobare, nous avons donc:

Nous devons utiliser la donnée de la chaleur fournie au fluide de travail par mole à chaque cycle pour calculer la température du gaz dans l’état 3. Dans le cycle Diesel, il n’y a échange de chaleur que dans les étapes 2-3 et 4-1. La température du gaz diminue pour cette dernière, la chaleur ne peut donc être fournie au fluide que dans l’étape 2-3 qui est isobare:

Où Cp est la capacité calorifique molaire d’un gaz parfait (diatomique dans ce cas) à pression constante.

Après avoir substitué avec les données du problème on obtient:

Nous allons tout d’abord calculer la relation entre le volume du gaz dans les états 4 et 3 pour trouver la pression et la température dans l’état 4:

Maintenant que nous connaissons cette relation entre les volumes, nous pouvons utiliser l’équation de la transformation adiabatique qui connecte les états 3 et 4:

Pour finir, la température à l’état 4 est donnée par:

Afin de vérifier si les résultats que nous avons calculés sont corrects, nous pouvons dessiner les isothermes (qui pour un gaz parfait sont des hyperboles) qui passent par chacun des quatre états du cycle Diesel:

Plus l’isotherme est haute plus sa température est élevée. Par conséquent, dans le cycle Diesel, le gaz atteint sa température maximale dans l’état 3. Cela coïncide effectivement avec les résultats obtenus.


Pour trouver le travail, la chaleur transférée et la variation de l’énergie interne pour chacune des étapes du cycle, nous utiliserons les expressions déduites pour chacune des transformations qui le constituent. Cliquez sur les liens pour voir comment elles sont obtenues.

1-2 Compression adiabatique

Par définition, la chaleur transférée dans une transformation adiabatique est nulle. Par conséquent Q12 = 0.

Le travail fourni par le gaz dans une transformation adiabatique est égal à l’opposé de la variation de son énergie interne:

Et en substituant avec les données, on obtient:

Comme nous nous y attendions, le travail dans la compression adiabatique est négatif car le volume du gaz diminue.

2-3 Détente isobare

Le travail fourni, la chaleur transférée et la variation de l’énergie interne d’un gaz qui subit une transformation à pression constante sont donnés par:

Et en substituant avec les données du problème on obtient:

De toute évidence, la chaleur que nous venons de calculer coïncide avec la chaleur fourni par le gaz dans le cycle.

3-4 Détente adiabatique

Nous utiliserons les mêmes expressions que pour la compression adiabatique 1-2 pour la détente adiabatique:

La variation de l’énergie interne du gaz est négative car sa température diminue, et le travail qu’il fournit est positif car son volume augmente (il se détend).

4-1 Refroidissement isochore

Dans ce cas, le travail, la chaleur transférée et la variation de l’énergie interne sont donnés par:

Pour calculer le travail total fourni par le gaz dans le cycle, sa variation d’énergie interne et la chaleur qu’il a échangé, nous ferrons la somme des quantités obtenues pour chacune des étapes du cycle:

Et en substituant on obtient:

La variation de l’énergie interne dans un cycle est toujours nulle: c’est une fonction d’état, comme l’état final coïncide avec l’état initial, sa variation est nulle. Comme le premier principe de la Thermodynamique, doit être vérifié, la chaleur totale échangée par le gaz doit être égale au travail qu’il fournit.

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Le rendement d’un cycle est donné par:

Où W est le travail total fourni par le gaz et Q1 est la chaleur absorbée. La chaleur n’est absorbée que dans la détente isobare 2-3 dans le cycle Diesel. De plus, le travail total fourni est la différence entre la chaleur absorbée et la valeur absolue de la chaleur cédée. Par conséquent:

Observez que le rendement du cycle de Diesel ne dépend pas de la quantité de fluide dans le cycle.

Finalement, en substituant le coefficient adiabatique ainsi que les températures calculées précédemment nous obtenons:

Qui est bien sûr inférieur à un car aucun cycle ne peut avoir un rendement de 100%. Si c’était le cas, il violerait le deuxième principe de la Thermodynamique.


Les températures extrêmes du cycle Diesel décrit dans ce problème sont T1 = 293 K et T3 = 2650 K comme vous pouvez le constater dans la figure supérieure. Le rendement d’une machine de Carnot qui fonctionnerait entre ces deux températures serait:

Qui est plus grand que celui d’un cycle Diesel car la machine de Carnot est celle qui a le rendement le plus élevé qui peut être atteint par une machine thermique entre deux températures déterminées. Il est bien-sûr aussi inférieur à 100% car aucune machine thermique ne peut convertir toute la chaleur qui lui est fournie en travail.

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