Une certaine quantité de gaz parfait monoatomique est initialement à une température T1 = 400 K, à une pression p1 = 5 atm et occupe un volume V1 = 0.6 m3. Le gaz se détend isothermiquement jusqu’à ce qu’il occupe un volume V2 = 3 m3. La pression du gaz diminue ensuite à volume constant jusqu’à un état 3. Le gaz retourne finalement à l’état initial en suivant une compression adiabatique pour fermer le cycle. Les processus sont tous réversibles.
- Dessinez le cycle dans un diagramme PV.
- Calculez la pression pour l’état 3 en utilisant l’équation d’une transformation adiabatique (entre les états 3 et 1). ¿Quelle est la température en ce point?
- Calculez le travail réalisé, la variation de l’énergie interne et la chaleur échangée par le gaz pour chacune des étapes et pour le cycle complet.
Exprimez les résultats en unités du Système International.
Données: R = 8.31 J/mol K; CV = (3/2)R
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Solution:
Ce problème est une application du Premier Principe de la Thermodynamique. Avant de le résoudre, nous vous recommandons d’aller voir la page des transformations réversibles d’un gaz parfait.
Nous avons représenté le cycle décrit par le gaz parfait dans la figure suivante:
L’équation d’une transformation adiabatique écrite en fonction de la pression et du volume est la suivante:
Où y est le coefficient adiabatique, qui dans le cas d’un gaz parfait monoatomique est donné par:
Nous connaissons la pression et le volume dans l’état 1; d’autre part, le volume dans l’état 3 est le même que pour l’état 2 (vois le cycle représenté dans le diagramme PV). Nous pouvons utiliser l’équation de l’adiabatique pour déterminer la pression dans l’état 3:
Où nous avons exprimé la pression en pascals en utilisant la conversion suivante:
Nous pouvons utiliser l’équation d’état d’un gaz parfait pour calculer la température dans l’état 3, mais nous devons d’abord déterminer le nombre de moles du gaz. Nous pouvons le calculer en appliquant l’équation d’état d’un gaz parfait pour l’état 1:
Nous utilisons à nouveau l’équation d’état d’un gaz parfait cette fois-ci pour l’état 3:
Comme nous l’attendions, la température est inférieur à celle de l’état 2, car la pression diminue à volume constant entre les états 2 et 3.
Lorsque vous travaillez avec ce type de problèmes, n’oubliez pas que les résultats numériques seront légèrement différents selon le nombre de décimales que vous utiliserez pour faire les calculs.
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Nous allons maintenant calculer le travail fourni, la chaleur échangée et la variation de l’énergie interne pour chacune des étapes.
Isotherme 1-2: Comme il s’agit d’une détente, le travail réalisé par le gaz et la chaleur échangée par celui-ci doivent être positifs.
isochore 2-3: La température du gaz diminue, par conséquent il cède de la chaleur et son énergie interne diminue.
Adiabatique 3-1: Durante cette compression adiabatique, la température du gaz augmente, donc son énergie augmentera. D’autre part, comme il s’agit d’une compression, le travail fourni par le gaz est négatif.
Le travail, la chaleur et la variation de l’énergine interne pour le cycle complet sont respectivement:
Le travail est positif car le gaz décrit un cycle dans le sens horaire; la variation d’énergie interne est nulle car c’est une fonction d’état qui ne varie pas pour un cycle. Par conséquent, la chaleur échangée totale est égale au travail fourni par le gaz.
L’aire en bleu dans la figure suivante correspond au travail réalisé par le gaz pour le cycle complet:
