La machine de Carnot est une machine thermique idéale qui, comme nous le démontrerons plus loin, a le rendement maximal que peut atteindre une machine qui fonctionne entre deux réservoirs thermiques.
Dans un premier temps, nous déterminerons le rendement de cette machine en supposant que son fluide de travail est un gaz parfait. Le cycle de Carnot est constitué de quatre processus réversibles:
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- 1-2 Détente isotherme: le gaz parfait se dilate à température constante au contact du réservoir thermique chaud qui se trouve à une température T1. Durant ce processus, le gaz absorbe une quantité Q1 de chaleur du réservoir thermique chaud.
- 2-3 Détente adiabatique: le gaz parfait se dilate adiabatiquement, donc sa temperature baisse jusqu’à la valeur T2, qui est celle du réservoir thermique froid.
- 3-4 Compression isotherme: le gaz parfait se comprime isothermiquement au contact du réservoir thermique froid. Durant ce processus, le gaz cède une quantité de chaleur Q2 au réservoir thermique froid.
- 4-1 Compression adiabatique: pour fermer le cycle, le gaz se comprime adiabatiquement jusqu’à ce que sa température soit de nouveau celle du réservoir thermique chaud.
Le cycle de Carnot est représenté dans un diagramme PV dans la figure suivante:
Comme vous pouvez le constater dans la figure, le cycle est décrit dans le sens horaire, car une machine produit du travail (W>0).
Le rendement d’une machine thermique est:
Où Q1 est la chaleur absorbée par le fluide de travail de la machine et Q2 est la chaleur cédée. Elles correspondent respectivement à la chaleur absorbée à l’étape 1-2 et à celle cédée à l’étape 3-4 dans le cycle de Carnot, car les deux autres processus sont adiabatiques et ne réalisent pas de transfert de chaleur par conséquent.
Pour un gaz parfait, ces transferts de chaleur sont données par:
Et en substituant les valeurs de Q1 et Q2 dans l’expression du rendement on obtient:
On peut simplifier cette expression en utilisant l’équation d’un processus adiabatique pour les processus 2-3 et 4-1:
Et en divisant les deux expressions, on obtient la relation de volumes suivante:
Par conséquent, le rendement de la machine de Carnot est:
Où les températures sont exprimées en kelvin (K).
Comme vous pouvez le constater dans l’expression précédente, plus la différence de température est importante entre les deux réservoirs thermiques, plus le rendement de la machine de Carnot sera élevé. D’autre part, le rendement d’une machine de Carnot ne peut jamais atteindre 100% car pour que cela soit le cas, la température du réservoir thermique froid devrait être 0 K, une température qui ne peut pas être atteinte (voir le troisième principe de la thermodynamique).
Pour démontrer qu’aucune machine thermique ne peut avoir un rendement supérieur à celui de la machine de Carnot, nous utiliserons un raisonnement logique appelé raisonnement par l’absurde: nous supposerons qu’une machine avec un rendement supérieur à celui de la machine de Carnot existe et nous verrons que si c’est le cas nous arrivons à une conclusion fausse.
Dans la figure ci-dessous, la partie gauche représente une machine thermique qui a un rendement supérieur à celui de la machine de Carnot. Cette machine extrait de la chaleur d’un réservoir thermique chaud et fournit un travail W’ plus important que celui que fournirait la machine de Carnot avec ces mêmes réservoirs thermiques. Comme l’énergie doit se conserver, la machine thermique doit céder au réservoir thermique froid une quantité de chaleur inférieure à celle que céderait la machine de Carnot.
Si on attache la machine à gauche avec une machine frigorifique de Carnot (au centre dans la figure), le résultat serait une machine qui fonctionnerait en extrayant de la chaleur d’un unique réservoir thermique (le froid), et la transformerait intégralement en travail. Mais cette machine ne peut pas exister car elle violerait l’énoncé de Kelvin – Planck du deuxième principe de la Thermodynamique.
Par conséquent, aucune machine thermique utilisant deux réservoirs thermiques ne peut avoir un rendement plus grand que celui de la machine de Carnot qui utiliserait ces mêmes réservoir thermiques. Ce résultat est connu comme le théorème de Carnot.
Le rendement de n’importe quelle machine thermique qui fonctionne de façon réversible entre deux réservoirs thermiques sera toujours le même (celui de la machine de Carnot) indépendamment de son fluide de travail ou de sa construction: et si elle fonctionne de manière irréversible, son rendement sera toujours inférieur à celui de la machine de Carnot qui utiliserait les même réservoirs thermiques.
Vous trouverez un exemple pratique de la machine de Carnot dans ce problème .
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