La machine frigorifique (ou réfrigérateur) de Carnot est une machine de Carnot qui fonctionne à l’envers, c’est à dire qu’elle extrait de la chaleur du réservoir thermique froid pour la céder au réservoir thermique chaud. Comme nous le démontrerons dans cette page, elle a le coefficient de performance maximum que peut atteindre une machine frigorifique qui fonctionne entre deux réservoirs thermiques déterminés.
Dans un premier temps, nous déterminerons l’le coefficient de performance de la machine frigorifique de Carnot en supposant que son fluide de travail soit un gaz parfait. Le cycle inverse de Carnot est constitué de quatre processus réversibles:
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- 1-2 Détente adiabatique: le gaz parfait se dilate adiabatiquement, donc sa température diminue jusqu’à la température T2 qui est celle du réservoir thermique froid.
- 2-3 Détente isotherme:le gaz parfait se dilate à température constante au contact du réservoir thermique froid qui se trouve à une température T2. Durant ce processus, le gaz absorbe une quantité Q2 de chaleur du réservoir thermique froid.
- 3-4 Compression adiabatique: le gaz parfait se comprime adiabatiquement jusqu’à ce que sa température soit T1 qui est celle du réservoir thermique chaud.
- 1-2 Compression isotherme: pour fermer le cycle, le gaz cède une quantité Q1 de chaleur du réservoir thermique chaud.
Le cycle inverse de Carnot est représenté dans un diagramme PV dans la figure suivante:
Comme vous pouvez le constater dans la figure, le cycle est décrit dans le sens antihoraire, car il est nécessaire de fournir du travail à la machine frigorifique pour qu’elle fonctionne (W<0).
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Le coefficient de performance d’une machine frigorifique est le quotient entre la quantité de chaleur extraite du réservoir thermique froid (Q2) et la valeur absolue du travail fourni à la machine frigorifique:
D’autre part, la valeur absolue du travail fourni à la machine frigorifique est donné par:
Où Q1 est la chaleur cédée par le fluide de travail de la machine frigorifique au réservoir thermique chaud et Q2 est la quantité de chaleur absorbée du réservoir thermique froid.
Pour un gaz parfait, ces transferts de chaleurs sont donnés par:
Et en faisant la substitution dans l’expression du coefficient de performance on obtient:
Nous pouvons simplifier cette expression en utilisant l’équation d’un processus adiabatique pour les processus 1-2 et 3-4:
En divisant les deux expressions pour les processus adiabatiques, on obtient:
Après simplification, on obtient que le coefficient de performance d’une machine frigorifique de Carnot est:
Où les températures sont exprimées en kelvin (K).
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Pour démontrer qu’aucune machine frigorifique ne peut avoir un coefficient de performance supérieur à celui de la machine frigorifique de Carnot (en utilisant les mêmes réservoirs thermiques), nous utiliserons un raisonnement logique appelé raisonnement par l’absurde: nous supposerons qu’une machine frigorifique avec un coefficient de performance supérieur à celui de la machine frigorifique de Carnot existe et nous verrons que si c’est le cas nous arrivons à une conclusion fausse.
Dans la figure ci-dessous, la partie gauche représente une machine frigorifique qui a un coefficient de performance supérieur à celui de la machine frigorifique de Carnot. Si on attache la machine frigorifique à gauche avec une machine de Carnot (au centre dans la figure), le résultat serait une machine qui fonctionnerait en extrayant de la chaleur d’un unique réservoir thermique (le froid), et la transformerait intégralement en travail. Mais cette machine ne peut pas exister car elle violerait l’énoncé de Kelvin – Planck du deuxième principe de la Thermodynamique.
