Leyes de Newton – Aceleración de dos masas con una polea y un muelle

Enunciado:

Dos bloques de masas m1 = 15 kg y m2 = 30 kg se encuentran situadas respectivamente en un plano horizontal y uno inclinado un ángulo α = 30º como se muestra en la figura. Suponiendo que entre el bloque 1 y el plano horizontal el coeficiente de rozamiento es μ = 0.1, determinar la aceleración de los bloques cuando el muelle se ha estirado una longitud x = 0.01 m, suponiendo despreciable la masa de la polea y de la cuerda. Determinar la tensión de la cuerda. La constante recuperadora del muelle es K = 1000 N/m.

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Solución:

Cuando vayas a resolver un problema de aplicación de la segunda ley de Newton en el que haya más de una masa involucrada, deberás escribir la segunda ley de Newton para cada una de ellas. Esto implica dibujar las fuerzas que actúan sobre cada masa y elegir unos ejes para cada una especificando el sentido positivo de los mismos.

Como los dos bloques están apoyados, sobre ellos actuará la normal que ejerce el plano sobre cada uno. Sobre el bloque 1 actuará también la fuerza de rozamiento y la fuerza del muelle. Además, al estar cerca de la superficie de la Tierra, sobre cada bloque actuará el peso. Y por último, sobre cada bloque actuará la tensión de la cuerda.

Sé cuidadoso con la notación. Indica mediante el subíndice correspondiente sobre qué cuerpo están actuando las distintas fuerzas. En la siguiente figura tienes representadas las fuerzas que actúan sobre cada bloque así como los ejes cartesianos sobre los que proyctaremos la segunda ley de Newton.

Observa en la figura que la norma de la tensión de la cuerda es la misma a ambos lados de la polea. Esto sucede siempre que la polea tiene masa despreciable.

Por otra parte, la norma de la aceleración de los bloques es la misma ya que están unidos por la cuerda.

En la figura anterior puedes ver que los ejes se han orientado de manera diferente para cada masa. En general cuando una masa está sobre un plano inclidado se toma el eje x alineado con el plano. De este modo el vector aceleración de la masa sólo tiene proyección sobre dicho eje y la proyección coincide con el módulo del vector.

Puedes orientar los ejes de manera diferente para cada una de las masas siempre y cuando seas después coherente con la orientación y el sentido positivo de los ejes que hayas elegido.

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A continuación vamos a aplicar la segunda ley de Newton a cada uno de los bloques.

Masa 1:

A continuación proyectamos sobre los ejes:

De la ecuación (2) obtenemos el módulo de la normal:

Además, el módulo de la fuerza de rozamiento y de la fuerza recuperadora del muelle vienen dados respectivamente por:

La segunda ecuación se denomina ley de Hooke; en este caso estamos utilizando el módulo de la fuerza.

Sustituyendo estas tres expresiones en la ecuación (1) obtenemos:

Masa 2:

En la siguiente figura tienes representadas las proyecciones del vector peso de la masa 2 que utilizaremos al proyectar la segunda ley de Newton sobre los ejes.

La segunda ley de Newton aplicada a la masa 2 viene dada por:

Y sus proyecciones sobre los ejes cartesianos:

De la ecuación (4) se obtiene el módulo de la normal que ejerce el plano sobre el bloque (2). Si sobre dicho bloque actuara la fuerza de rozamiento, utilizaríamos este valor de la normal para calcularla.

Para calcular la aceleración de los bloques utilizamos las ecuaciones (1) y (3), que constituyen un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (T y a). Para resolverlo sumamos ambas miembro a miembro:

Para calcular la aceleración la despejamos de la ecuación anterior y sustituimos los datos del problema:

Para calcular la tensión sustituimos la aceleración en la ecuación (1):

Donde se ha tomado g = 10 m/s2

No olvides poner las unidades en todos los resultados que obtengas al hacer los problemas.

La página Leyes de Newton – Aceleración de dos masas con una polea y un muelle ha sido originalmente publicada en YouPhysics