Leyes de Newton – Aceleración de dos masas con una polea y una cuerda

Enunciado:

Dos bloques de masas m1 = 5 kg y m2 = 30 kg se encuentran situadas respectivamente en un plano horizontal y uno inclinado un ángulo α = 30º como se muestra en la figura. Suponiendo que entre el bloque 1 y el plano horizontal el coeficiente de rozamiento es μ = 0.1, determinar la aceleración de los bloques, suponiendo despreciable la masa de la polea y de la cuerda. Determinar la tensión de la cuerda.

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Solución:

Cuando vayas a resolver un problema de aplicación de la segunda ley de Newton en el que haya más de una masa involucrada, deberás escribir la segunda ley de Newton para cada una de ellas. Esto implica dibujar las fuerzas que actúan sobre cada masa y elegir unos ejes para cada una especificando el sentido positivo de los mismos.

Como los dos bloques están apoyados, sobre ellos actuará la normal que ejerce el plano sobre cada uno. Sobre el bloque 1 actuará también la fuerza de rozamiento. Además, al estar cerca de la superficie de la Tierra, sobre cada bloque actuará el peso. Y por último, sobre cada bloque actuará la tensión de la cuerda.

Sé cuidadoso con la notación. Indica mediante el subíndice correspondiente sobre qué cuerpo están actuando las distintas fuerzas. En la figura siguiente las tienes representadas para el sistema del problema.

Observa en la figura que la norma de la tensión de la cuerda es la misma a ambos lados de la polea. Esto sucede siempre que la polea tiene masa despreciable.

Por otra parte, el módulo de la aceleración de los bloques es el mismo ya que están unidos por la cuerda.

En la figura anterior puedes ver que los ejes se han orientado de manera diferente para cada masa. En general cuando una masa está sobre un plano inclinado se toma el eje x alineado con el plano. De este modo el vector aceleración de la masa sólo tiene proyección sobre dicho eje y la proyección coincide con el módulo del vector.

Puedes orientar los ejes de manera diferente para cada una de las masas siempre y cuando seas después coherente con la orientación y el sentido positivo de los ejes que hayas elegido.

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A continuación vamos a aplicar la segunda ley de Newton a cada uno de los bloques.

Masa 1:

Proyectando sobre los ejes:

Además el módulo de la fuerza de rozamiento viene dado por:

De la ecuación (2) obtenemos el módulo de la normal:

Y sustituyendo dicho módulo junto con el valor de la fuerza de rozamiento en la ecuación (1):

Masa 2:

En la siguiente figura tienes representadas las proyecciones del vector peso de la masa 2.

La segunda ley de Newton aplicada a la masa 2 viene dada por:

Y proyectándola sobre los ejes:

De la ecuación (4) se obtiene el módulo de la normal sobre el bloque 2, que sería útil por ejemplo si hubiera que calcular la fuerza de rozamiento en el plano inclinado.

La ecuación que nos interesa para resolver el problema es la (3):

Y ahora podemos sumar las ecuaciones (1) y (3) para eliminar la tensión:

Despejando la aceleración y sustituyendo los datos del problema obtenemos:

Y sustituyendo este valor en la ecuación (1) obtenemos la tensión de la cuerda:

Donde se ha tomado g = 10 m/s2

No olvides poner las unidades en todos los resultados que obtengas al hacer los problemas.

La página Leyes de Newton – Aceleración de dos masas con una polea y una cuerda ha sido originalmente publicada en YouPhysics