Deux blocs de masses m1 = 15 kg et m2 = 30 kg sont situés l’un sur un plan horizontal et l’autre sur un plan incliné avec un angle α = 30º (voir la figure). En supposant que le coefficient de frottement entre le premier bloc et le plan horizontal soit μ = 0.1, déterminez l’accélération des deux blocs lorsque le ressort s’est étiré d’une longueur x = 0.01 m. On considère ici que la masse de la poulie et celle de la corde sont négligeables. Déterminez la tension de la corde. La force de rappel du ressort est K = 1000 N/m.
Solution:
Lorsque que essayez de résoudre un problème d’application de la deuxième loi de Newton et qu’il y a plus qu’une masse impliquée, il faudra écrire la deuxième loi de Newton pour chacune d’entre elles. Ceci implique dessiner les forces qui agissent sur chacune des masses et choisir un référentiel pour chacune d’elles en spécifiant le sens positifs de leurs axes.
Comme les deux blocs sont appuyés sur des plans, la force normale des plans agira sur chacun d’entre eux. La force de frottement agira aussi sur le premier bloc ainsi que la force du ressort. Si l’on considère que les blocs se trouvent proches de la Terre, il faudra aussi prendre en compte le poids qui agira sur chacun d’entre eux. Chaque bloc sera d’autre part soumis à la tension de la corde.
Soyez précis avec la notation. Utilisez des indices pour indiquer l’action des forces sur les deux corps. Dans la figure ci-dessous nous avons représenté les différentes forces qui agissent sur chaque bloc ainsi que les référentiels que nous avons choisi pour faire les projections des vecteurs de la deuxième loi de Newton.
Remarquez que dans cette figure la norme de la tension de la corde est la même pour les deux côtés de la poulie. C’est toujours le cas si la poulie a une masse négligeable.
D’autre part, la norme de l’accélération des deux blocs est la même car ils sont unis par la corde.
Dans la figure ci-dessus vous pouvez constater que nous avons choisi une orientation différente pour les axes des référentiels associés aux deux masses. En général lorsqu’une masse se trouve sur un plan incliné on choisi l’axe x pour qu’il soit aligné avec le plan. De cette façon le vecteur accélération de la masse n’a besoin d’être projeté que sur cet axe et sa projection correspond à la norme du vecteur.
Vous pouvez orienter les axes d’une manière différente pour chacune des masses en faisant attention à bien respecter ensuite l’orientation et le sens positif des axes choisis.
Nous allons maintenant appliquer la seconde loi de Newton pour chacun des deux blocs.
Masse 1:
Avec la projection sur les axes nous obtenons:
À partir de l’équation (2) nous obtenons la norme de la normale:
La norme de la force de frottement et celle de la force de rappel du ressort sont définies par:
La deuxième équation est la loi de Hooke; nous utilisons ici la norme de la force.
En substituant ces trois expressions dans l’équation (1) nous obtenons:
Masse 2:
Nous avons représenté les projections sur les axes du vecteur poids de la masse 2 dans la figure ci-dessous:
La deuxième loi de Newton appliquée à la masse 2 donne:
Et avec la projection sur les axes nous obtenons:
À partir de l’équation (4) nous obtenons la norme de la normale qu’exerce le plan sur le deuxième bloc. Ce bloc est aussi soumis à la force de frottement du plan incliné et nous utiliserions la norme de la normale si nous devions la calculer.
Pour calculer l’accélération des deux blocs nous utilisons les équations (1) et (3) qui constituent un système de deux équations à deux inconnues (T et a). Nous faisons la somme des membres pour le résoudre:
Nous obtenons ainsi l’accélération en substituant avec les données du problème:
Finalement en substituant cette valeur dans l’équation (1) nous obtenons la tension de la corde:
En prenant g = 10 m/s2.
N’oubliez pas d’inclure les unités dans les résultats des problèmes.
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