Lois de Newton - La balance et l'ascenseur: poids apparent

Énoncé:

Une petite fille de masse m est debout sur un pèse-personne (balance) dans un ascenseur. Déterminez quel « poids » indiquera la balance dans les situations suivantes:

  1. Lorsque l’ascenseur monte avec une accélération de norme a.
  2. Lorsque l’ascenseur descend avec une accélération de même norme que dans le cas précédent.
  3. Lorsque l’ascenseur est au repos.

Résolvez ce problème par rapport à un observateur au repos et par rapport à un autre qui se déplace avec l’ascenseur.

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Solution:

Dans un premier temps nous allons résoudre le problème par rapport à un observateur inertiel O (au repos au sol).

Dans l’énoncé le mot poids est entre guillemets car la balance mesure réellement la force normale que la petite fille exerce sur elle. Le poids est la force gravitationnelle que la Terre exerce sur les corps qui se trouve proche de sa superficie. Par conséquent, le poids s’applique sur la petite fille et non la balance.

D’autre part, la normale qu’exerce la petite fille sur la balance (N12) est la réaction de la balance sur la petite fille N21 (troisième loi de Newton). Nous allons calculer celle-ci en utilisant la deuxième loi de Newton.
Dans la figure ci-dessous nous avons représenté les forces qui agissent sur la petite fille:

Par rapport à l’observateur inertiel, la petite fille monte avec la même accélération que l’ascenseur, la deuxième loi de Newton s’écrit alors:

Et avec la projection sur l’axe y nous obtenons:

Observez que, même si nous n’avons pas représenté explicitement l’axe vertical dans la figure, le vecteur unitaire j associé à l’observateur O indique le sens positif de cet axe.

À partir de l’équation (1) nous pouvons déduire la normale N21:

Qui est la force qu’indiquera la balance.

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Si l’ascenseur descend avec une accélération de même norme que précédemment mais dans le sens contraire, les vecteurs de la deuxième loi de Newton sont les mêmes, seule change la projection sur l’axe y, car maintenant l’accélération a une projection négative sur cet axe:

À partir de l’équation (2) nous pouvons déduire la valeur N21 dans ce cas:

Si l’ascenseur est au repos l’accélération de la petite fille est nulle, par conséquent la projection de la deuxième loi de Newton sur l’axe y est:

La normale N21 est dans ce cas:

Observez que la balance indiquera un « poids » distinct selon l’accélération de l’ascenseur. Si celui-ci est au repos, la balance indique la valeur du poids (force gravitationnelle). Sinon, si l’ascenseur monte la balance indiquera un « poids » supérieur et s’il descend un “poids” inférieur.

Si l’ascenseur descendait avec une vitesse constante la balance indiquerait le même « poids » qu’au repos.


Nous allons maintenant résoudre le problème par rapport à un observateur O’ qui se déplace avec l’ascenseur .

Lorsque l’ascenseur a une accélération, O’ est un observateur non inertiel.

Lorsque Newton déduisit ses trois lois, il le fit par rapport à un référentiel au repos (inertiel). Par conséquent, du moins en principe, nous ne pourrions pas appliquer la deuxième loi de Newton pour résoudre ce problème pour l’observateur avec accélération (non inertiel). Nous pouvons néanmoins le faire si nous incluons les forces apparentes qui agissent sur la masse du fait du propre mouvement de l’observateur. Ce sont les forces appelées forces d’inertie (ou forces fictives ou pseudo-forces).

Les forces d’inertie sont toujours proportionnelles à la masse sur laquelle elles agissent.

Nous commençons d’abord par dessiner les forces qui agissent sur la petite fille:

Si vous comparez cette figure avec celle que nous avons fait dans le cas d’un référentiel inertiel, vous verrez qu’il y a maintenant une force Fi qui agit sur la petite fille qui n’apparaissait pas précédemment. Cette force d’inertie ne correspond à aucune interaction physique expérimenté par la petite fille, c’est simplement une conséquence du mouvement de l’observateur O’.

Par rapport à O’ l’accélération de la petite fille est nulle, la deuxième loi de Newton s’écrit alors:

En faisant la projection sur l’axe y on obtient:

La norme de cette force Fi est proportionnelle à la masse de la petite fille et à l’accélération de l’observateur:

En substituant cette norme dans l’équation (4) nous obtenons:

Et nous pouvons alors déduire la valeur de la normale:

Si nous comparons l’équation (1) avec la (5) vous verrez que les résultats que nous avons obtenu pour les deux observateurs sont identiques.

Dans le cas où l’ascenseur est au repos ou se déplace avec une vitesse constante, l’observateur qui se déplace avec lui est inertiel et par conséquent les forces d’inertie n’apparaissent pas dans ce cas. Le problème se résout alors comme nous l’avons fait par rapport à O.

 

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