Lois de Newton - Caisses empilées

Énoncé:

Deux caisses de masse m1 = 10 kg et m2 = 2 kg sont empilées l’une sur l’autre (voir la figure). Une personne tire avec un force F sur la caisse d’en bas. Sachant que le coefficient de frottement statique entre les deux caisses est μs = 0.2, déterminez la force maximale que peut exercer la personne pour que la caisse d’en haut ne glisse pas par rapport à celle d’en bas. Calculez l’accélération des caisses pour cette valeur de la force. Négligez le frottement avec le sol.

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Solution:

Dans un premier temps nous allons représenter les forces qui agissent sur chacune des caisses:

Chaque figure représente les forces qui agissent sur les deux caisses. Dans la figure (a) nous avons mis en évidence les forces qui agissent sur la caisse inférieure et dans la figure (b) celles qui agissent sur la caisse supérieure.

Observez que certaines des forces forment des paires action – réaction: N12 est la force normale que la caisse supérieure exerce sur la caisse inférieure et N21 est la force normale qu’exerce celle d’en bas sur celle d’en haut. Les deux forces ont la même norme et sont de sens opposé.

FR12 est la force de frottement qu’expérimente la caisse inférieure et FR21 celle qu’expérimente la caisse supérieure. Les deux forces constituent une autre paire action – réaction et comme dans le cas de la normale elles ont la même norme et sont de sens contraire.

Aucune des forces normales ci-dessus ne correspond au poids respectifs des caisses. Le poids de la masse 1 est la force gravitationnelle qu’exerce la Terre sur celle-ci, et sa réaction est la force gravitationnelle qu’exerce la masse 1 sur la Terre (elle n’est pas représentée sur la figure car elle est appliquée au centre de la Terre).

La normale N est la force que le sol exerce sur la caisse inférieure et sa réaction est la normale que cette caisse exerce sur le sol. Nous ne l’avons pas représenté dans les figures car c’est le mouvement des caisses qui nous intéresse et non celui du sol.

Une force et sa réaction doivent être des forces du même type et appliquées à différents solides.

Nous avons ci-dessous l’expression de la deuxième loi de Newton pour chacune des deux caisses:

Masse 1

En prenant comme référence les forces mises en évidence dans la figure (a) la deuxième loi de Newton pour la masse 1 s’écrit:

En faisant la projection sur les axes représentés à gauche de la figure nous obtenons:

La projection du vecteur accélération est positive car les deux caisses se déplacent vers la droite (dans le sens positif de l’axe x).


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Masse 2

En utilisant les forces mises en évidence dans la figure (b), la deuxième loi de Newton pour la masse 2 est:

En faisant la projection sur les axes représentés nous obtenons:

De même que pour la masse 1, la projection du vecteur accélération est positive car les deux caisses se déplacent vers la droite (dans le sens positif de l’axe x).

Nous pouvons maintenant résoudre le problème à partir de ces équations.

Nous devons calculer la valeur maximale de F pour que les deux caisses se déplacent ensemble. Elles ont la même accélération lorsque c’est le cas:

Lorsque la masse m2 ne glisse pas par rapport à la masse m1 la force de frottement statique a la même norme que la force F mais elle est de sens opposée. Lorsque la masse m2 glisse sur la première, elle obtient sa valeur maximale et elle s’exprime alors ainsi:

En outre, la norme de la force de frottement statique obtient sa valeur maximale (car nous calculons la valeur maximale de la force F) lorsque:

À partir de l’équation (4) nous obtenons la norme de la normale N21:

En substituant les deux expressions dans l’équation (3) nous obtenons l’accélération des caisses:

Et à partir de l’équation (1) nous obtenons la norme de la force:

En prenant g = 10 m/s2

N’oubliez pas d’inclure les unités dans les résultats des problèmes.

Se l’on utilise une force inférieure à celle calculé pour tirer sur la caisse les deux se déplaceront ensemble. Si l’on utilise une force supérieure la caisse supérieure glissera sur l’inférieure et elles auront des accélérations différentes.

 

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