Lois de Newton - Plan incliné et cale

Énoncé:
Un bloc de masse m – 1 kg est situé sur une cale de masse M qui descend sans frottement le long d’un plan incliné avec un angle α = 30º par rapport à l’horizontale (voir la figure). Calculez la norme de la réaction de la cale sur le bloc en supposant que le bloc ne glisse pas par rapport à la cale.

Résolvez ce problème par rapport à un référentiel situé sur la cale.

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Solution:

Dans un premier temps nous allons calculer l’accélération de l’ensemble cale – bloc par rapport à un référentiel au repos sur le sol. Comme l’ensemble est appuyé sur le plan, il subit l’action de la force normale. Il subit d’autre part l’action du poids si nous considérons que l’ensemble est proche de la Terre. Ces forces sont représentées dans la figure ci-dessous.

PT est le poids de l’ensemble des deux masses et N la normale que le plan incliné exerce sur l’ensemble.

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Nous appliquons la deuxième loi de Newton à l’ensemble des deux corps:

Nous représentons les projections du vecteur poids sur les axes les axes cartésiens que nous allons utiliser dans la figure ci-dessous:

La projection des vecteurs de la deuxième loi de Newton sur les axes donne:

Et en substituant la norme du poids dans l’équation (1) nous pouvons déduire:

Le fait de connaitre la valeur de l’accélération va nous permettre de calculer la valeur de la force d’inertie qui agit sur le bloc lorsque le référentiel se déplace avec la cale. Rappelez vous que la norme d’une force d’inertie est toujours proportionnelle à la masse sur laquelle elle agit et à l’accélération de l’observateur.


Nous allons maintenant représenter les forces qui agissent sur le bloc de masse m par rapport à un référentiel O’ situé sur la cale. L’observateur O’ es non inertiel car il a une accélération.

Comme vous pouvez le constater sur cette figure, le bloc subit une force d’inertie car nous observons son mouvement depuis un référentiel non inertiel.

La norme de la force d’inertie (nous utilisons la valeur de l’accélération calculée précédemment) est:

Le bloc subit aussi le frottement statique; si ce n’était pas le cas, il ne se déplacerait pas solidairement avec la cale. En outre, comme il est appuyé sur la cale, il subit la force normale de celle-ci ainsi que le poids si nous considérons qu’il est proche de la Terre.

La deuxième loi de Newton appliquée au bloc par rapport à O’ est alors:

En projetant sur les axes nous obtenons:

Les projections de la force d’inertie sur les axes sont représentées dans la figure ci-dessous. Comme vous pouvez le constater dans la figure précédente, les projections des autres forces coïncident avec leurs normes respectives.

En résolvant l’équation (4) nous obtenons la valeur de la normale N21:

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