Lois de Newton - Plan incliné avec ressort

Énoncé:

Une masse m = 15 kg suspendue à un ressort de raideur K = 100N / m descend le long d’un plan incliné qui fait un angle α = 30º avec l’horizontale. En supposant qu’il n’y a pas de frottement, déterminez l’accélération de la masse lorsque le ressort s’est étiré d’une longueur x = 0.02m.

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Solution:

Pour résoudre ce problème nous allons utiliser la deuxième loi de Newton. Les forces qui agissent sur la masse sont le poids (si celle-ci est proche de la superficie de la Terre), la normale (car elle est appuyée sur le plan) et la force du ressort qui est donnée par la loi de Hooke.

Nous représentons ci-dessous un diagramme des forces qui agissent du la masse ainsi que les axes cartésiens qui nous utiliserons pour faire les projections.

La force de rappel du ressort agis dans le sens contraire à l’élongation du ressort (et par conséquent au sens de déplacement de la masse):

L’accélération de la masse est aussi représenté dans la figure. Elle va dans la direction du sens positif de l’axe x.

Dans le diagramme ci-dessous nous avons représenté les projections du vecteur poids sur les axes que nous avons choisi.

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La deuxième loi de Newton appliqué au mouvement de la masse donne:

Et en faisant la projection sur les axes cartésiens nous obtenons:

Nous obtenons la norme de la normale à partir de l’équation (2), comme vous pouvez le constater, elle n’est pas égale au poids.

D’autre part la norme de la force de rappel du ressort est donnée par:

Observez que bien que le vecteur force donné par la loi de Hooke a un sens négatif, comme nous utilisons ici sa norme elle doit être positive.

Finalement, en résolvant l’équation (1) et en substituant on obtient l’accélération:

En prenant g = 10 m/s2.
N’oubliez pas d’inclure les unités dans les résultats des problèmes.

 

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