Conservation de l’énergie d’une charge dans un champ électrique

Énoncé:

Deux charges ponctuelles négatives et égales q1 = q2 = -q sont situées aux points (0,a) et (0,-a). Une troisième charge ponctuelle positive q0 de masse m se déplace avec une vitesse initiale v0 depuis le point B (-b,0) en direction de l’origine des coordonnées. Déterminez:

  1. Dessinez le champ total E créé par les charges q1 et q2 en B et le vecteur force que subit q0 lorsqu’elle se trouve en ce point.
  2. Le potentiel électrostatique créé par les charges q1 et q2 en B et à l’origine O des coordonnées.
  3. La vitesse de q0 lorsqu’elle arrive à l’origine des coordonnées.
  4. La distance que parcourra q0 depuis l’origine des coordonnées jusqu’à ce qu’elle s’arrête.

Données: k = 1/(4πε0); ε0 = 8.854 10-12 C2/(N·m2)

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Solution:

La situation décrite dans l’énoncé du problème est représentée dans la figure ci-dessous:

Nous allons tout d’abord représenter le champ électrique total créé par q1 et q2 au point B pour voir qu’elle est la force que subit q0. Nous appellerons E1 le champ créé par q1 et E2 celui créé par q2.

Afin de déterminer le sens du vecteur E1, mous ferrons l’expérience imaginaire de placer une charge d’essai (ou charge témoin) positive au point B pour voir le sens qu’aurait la force qu’elle subirait en présence de la charge q1. Comme cette dernière est négative, la charge d’essai serait attirée par elle et donc E1 va en direction de q1. Rappelez-vous que les charges négatives sont des puits de lignes de champ électrique. Nous répétons la même expérience pour q2 afin de déterminer le sens du vecteur E2.

Le champ total E est la résultante des deux vecteurs. Nous pouvons le déterminer graphiquement à l’aide de la règle du parallélogramme. Les trois vecteurs sont représentés dans la partie gauche de la figure ci-dessous.

Si nous plaçons maintenant la charge q0 au point B, la force qu’elle subira est donnée par:

Et comme q0 est positive, le vecteur F est parallèle à E, comme vous pouvez le voir dans la partie droite de la figure ci-dessus.

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Le potentiel électrostatique en B est la somme des potentiels créés par q1 et q2 en ce point:

Où r est la distance entre chaque charge et le point B. Nous appliquons le théorème de Pythagore pour trouver r1 y r2.

En substituant dans l’expression du potentiel nous obtenons:

Et nous suivons la même démarche pour calculer le potentiel à l’origine des coordonnées O:


La force électrostatique est conservative, par conséquent l’énergie totale de la charge q0 est la même aux points B et O. Nous appelons K l’énergie cinétique et v la vitesse de la charge en O (attention dans ce problème v0 est la vitesse de la charge au point B). D’autre part la somme de l’énergie cinétique et de l’énergie potentielle électrostatique est constante.

En substituant le potentiel et en isolant v2, nous obtenons:

La charge q0 s’arrêtera en un point C de coordonnées (c,0) lorsque sa vitesse sera nulle. Le potentiel au point C est:

En appliquant la conservation de l’énergie entre les points B et C nous obtenons:

Nous substituons le potentiel pour les deux points pour obtenir:

Et nous pouvons isoler la valeur de c à partir de l’expression ci-dessus.

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