Champ et potentiel électrique au centre d’un rectangle

Solution:

Nous allons voir dans ce problème comment calculer pas à pas le champ électrique créé par un ensemble de charges en un point.

Dans un premier temps, nous allons dessiner le champ électrique créé par chacune des charges de la figure au centre du rectangle. Pour déterminer le sens du vecteur champ électrique créé par une charge située en un point quelconque, nous ferrons l’expérience imaginaire qui consiste à placer une charge d’essai (ou charge témoin) positive en ce point. Le sens du champ électrique est le même que celui de la force que subirait cette charge positive.

Les charges positives sont des sources de lignes de champ (les lignes sortent des charges positives) et les charges négatives sont des puits de lignes de champ (les lignes arrivent jusqu’aux charges négatives).

Le champ électrique créé par chacune des charges au point A est représenté dans la figure ci-dessous. Les vecteurs unitaires que nous utiliserons pour calculer les champs sont représentés en rouge. Nous avons aussi représenté les distances r entre chacune des charges et le point A.

Les champs E₂ et E₃ ont les même normes, sens et directions. Nous les avons représenté légèrement décalés l’un à côté de l’autre en vert et bleu respectivement (afin de pouvoir les visualiser dans la figure car ils sont identiques). Il se passe la même chose pour les champs E₁ et E₄.

Nous allons maintenant calculer les quatre champs électriques.

Les champs créés par chacune des charges sont donnés par:

Où r est la distance depuis chacune des charges jusqu’au point A. Nous utilisons le théorème de Pythagore pour trouver r₁, r₂, r₃ et r₄.

Les vecteurs unitaires u_r vont toujours depuis la charge qui crée le champ jusqu’au point où l’on calcule le champ.

Les coordonnées des charges qui créent le champ électrique sont indiquées dans la figure ci-dessous.

Le vecteur unitaire u_r1 est déterminé en divisant le vecteur A qui va du point où se trouve q₁ jusqu’au point A par sa norme:

On fait la même chose pour les trois autres charges afin d’obtenir les trois autres vecteurs unitaires:

Une fois calculés les vecteurs unitaires et la distance entre chaque charge et le point A nous substituons ces données dans l’expression du champ électrique créé par chacune des charges pour obtenir:

Le champ total au point A est la somme de ces quatre vecteurs:

Le champ électrique total au point A est un vecteur qui est dirigé dans le sens négatif de l’axe y. Nous pouvons le vérifier graphiquement en faisant la somme des vecteurs champ électrique avec la règle du parallélogramme. Pour que cela soit plus clair, nous avons représenté séparément la résultante des champs 1 et 2 (en vert) et celles des champs 3 et 4 (en bleu). Le champ total est la somme des vecteurs vert clair et bleu clair.

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Le potentiel électrique créé par les quatre charges au point A est donné par:

Ce potentiel est nul, car r a la même valeur pour toutes les charges et deux d’entre elles sont positives alors que les deux autres sont négatives:

Que le potentiel électrique soit nul en un point n’implique pas par conséquent que le champ le soit aussi, et vice-versa.

Les distances entre les charges et le point B sont représentées dans la figure suivante.

Ces distances se calculent à l’aide du théorème de Pythagore:

Le potentiel en B est donc:

Finalement, après avoir substitué avec les valeurs des variables, nous obtenons:

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Le travail éffectué par la force électrique pour déplacer q₀ depuis B jusqu’à l’infini est égale à la valeur de la charge multiplié par la différence de potentiel entre les deux points. On place l’origine des potentiels à r = ∞, nous avons donc:

Et après avoir substitué avec les valeurs nous obtenons:

Vous pouvez consulter la page des unités de mesure pour en savoir plus sur les préfixes utilisés en physique pour exprimer les multiples ou les sous-multiples des unités du Système International.

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