Campo y potencial eléctrico en el centro de un rectángulo

Enunciado:

En los vértices de un rectángulo de base a = 4 m y altura b = 2 m se sitúan cuatro cargas puntuales (ver figura). El origen del sistema de coordenadas se encuentra en el centro del rectángulo. Determinar:

  1. el campo eléctrico en el centro del rectángulo (A).
  2. el potencial eléctrico en el centro del rectángulo (A) y en el punto medio de la base (B).
  3. el trabajo que hace la fuerza eléctrica para llevar una carga q0 desde el punto B hasta el infinito.

Datos:|q| = 1 nC; q0 = -2 μC; k = 9 109 Nm2/C2

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Solución:

En este problema vamos a ver paso a paso cómo calcular el campo eléctrico que crea un conjunto de cargas en un punto.

En primer lugar vamos a dibujar el campo eléctrico que crea cada una de las cargas de la figura en el centro del rectángulo. Para determinar el sentido del vector campo eléctrico que crea una carga en un punto cualquiera, se hace el experimento mental de colocar una carga de prueba positiva en dicho punto. El sentido del campo eléctrico es el mismo que el de la fuerza que experimentaría dicha carga positiva.

Las cargas positivas son fuentes de líneas de campo (las líneas salen de las cargas positivas) y las cargas negativas son sumideros de líneas de campo (las líneas llegan a las cargas negativas).

En la figura inferior se ha representado el campo eléctrico creado por cada carga en el punto A. En rojo en la figura se han representado los vectores unitarios que emplearemos para calcular los campos así como la distancia r entre cada carga y el punto A.

Los campos E2 y E3 tienen el mismo módulo, dirección y sentido, por lo que los hemos representado uno al lado del otro, en verde y en azul respectivamente. Y lo mismo sucede para los campos E1 y E4.

A continuación vamos a calcular los cuatro campos eléctricos.

El campo creado por cada una de las cargas viene dado por:

donde r es la distancia desde cada carga al punto A. Para hallar r1, r2, r3 y r4 aplicamos el teorema de Pitágoras:

Los vectores unitarios ur van siempre desde la carga que crea el campo hacia el punto donde se calcula el campo.

En la figura siguiente se han representado las coordenadas de los puntos donde se encuentran las cargas que crean el campo.

El vector unitario ur1 se determina hallando el vector A que va desde el punto donde se encuentra q1 hasta el punto A y después dividiendo por su módulo:

Y haciendo lo mismo para las otras tres cargas:

Una vez calculados los vectores unitarios y la distancia entre cada carga y el punto A sustituimos todos los datos en la expresión del campo eléctrico que crea cada una de las cargas:

Y el campo total en el punto A es la suma de estos cuatro vectores:

El campo eléctrico total en el punto A es un vector que apunta en el sentido negativo del eje y. Podemos comprobarlo gráficamente sumando los vectores campo eléctrico con ayuda de la regla del paralelogramo. Para mayor claridad se han representado por separado la resultante de los campos 1 y 2 (en verde) y del 3 y 4(en azul). El campo total es la suma de los vectores verde claro y azul claro.

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El potencial eléctrico que crean las cuatro cargas en el punto A viene dado por:

Dicho potencial es cero, ya que r tiene el mismo valor para todas las cargas y dos de ellas son positivas y dos negativas:

Por tanto, que el potencial eléctrico en un determinado punto sea cero no implica que el campo también lo sea, y viceversa.

Las distancias entre las cargas y el punto B están representadas en la siguiente figura.

Y su valor se calcula con ayuda del teorema de Pitágoras:

Y el potencial en B:

Finalmente, sustituyendo los valores de las variables:


El trabajo que hace la fuerza eléctrica para llevar q0 desde B hasta infinito es igual al valor de la carga por la diferencia de potencial entre los dos puntos. Se toma como origen de potenciales r = ∞, por lo que:

Y sustituyendo:

Consulta la página unidades de medida para saber más sobre los prefijos utilizados en física para expresar múltiplos y submúltiplos de las unidades del Sistema Internacional.

La página Campo y potencial eléctrico en el centro de un rectángulo ha sido originalmente publicada en YouPhysics