Champ électrique à l’intérieur d’un condensateur cylindrique

Un condensateur est un dispositif employé dans les circuits électriques et électroniques pour stocker de l’énergie électrique sous forme de différence de potentiel (ou champ électrique). Il est constitué de deux conducteurs (appelés armatures) généralement sous forme de plaques, cylindres ou feuilles, qui sont séparés par un vide ou par un matériau diélectrique. Les matériaux diélectriques sont ceux qui ne conduisent pas l’électricité et qui peuvent donc être utilisés comme des isolants.

Le premier condensateur fut fabriqué en 1745-1746 et est connu comme la bouteille de Leyde. Il était constitué d’un récipient en verre (isolant), de feuilles d’étain chiffonnées (premier conducteur) dans le récipient et d’une feuille métallique (deuxième conducteur) enveloppant le récipient.

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Dans ce qui suit nous allons calculer le champ électrique à l’intérieur d’un condensateur cylindrique.

Un condensateur cylindrique est constitué de deux armatures cylindriques concentriques de rayons R1 et R2 respectivement comme vous pouvez le voir dans la figure ci-dessous. La charge de l’armature intérieure est +q et celle de l’armature extérieure est –q.

Le champ électrique créé par chacun des cylindres a une direction radiale. Les lignes de champ sortent de l’armature chargée positivement (en vert) et arrivent à l’armature extérieure chargée négativement. Nous allons utiliser le théorème de Gauss pour calculer la norme du champ électrique entre les armatures. Le champ électrique à l’intérieur de l’armature de rayon R1 et celui à l’extérieur du condensateur sont nuls.

Le condensateur et la surface de Gauss (un cylindre de rayon r en pointillés rouges) à travers de laquelle nous allons calculer le champ sont représentés vus d’en haut dans la figure ci-dessous.

Le flux à travers de la surface de Gauss est donné par:

Le flux à travers des bases du cylindre est nul, car aucune ligne de champ ne les traverse. Les vecteurs E et dS sont parallèles pour la surface latérale du cylindre et par conséquent leur produit scalaire est égale au produit de leurs normes. D’autre part, comme le champ a une symétrie radiale, sa norme est la même pour tous les points de la surface de Gauss, nous pouvons donc la sortir de l’intégrale:

Après avoir substitué la superficie latérale du cylindre, nous obtenons:

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La capacité C d’un condensateur est définie comme la quotient entre la valeur absolue de la charge de ses armatures et la différence de potentiel entre elles:

L’unité de capacité dans le Système International est le farad (F).

Nous allons tout d’abord déterminer la différence de potentiel entre les armatures du condensateur:

Les vecteurs dont nous avons besoin pour faire le calcul sont représentés dans la figure ci-dessous:

En substituant dans la différence de potentiel nous obtenons:

Et en intégrant nous obtenons:

La capacité du condensateur est par conséquent:


Durant la charge d’un condensateur, une charge positive dq est transférée depuis l’armature chargée négativement jusqu’à l’armature chargée positivement. Il est nécessaire de fournir une certaine quantité d’énergie sous forme de travail pour le faire, car sinon la charge positive serait repoussée par l’armature chargée positivement.

Le travail pour déplacer la charge dq depuis l’armature négative jusqu’à celle qui est positive est donné par:

Nous intégrons entre une charge nulle et la charge maximale q du condensateur pour obtenir:

En écrivant q en fonction de la capacité du condensateur nous obtenons:

L’énergie utilisée pour charger le condensateur reste stockée dans celui-ci.

Par conséquent, l’énergie stockée par un condensateur chargé est:

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