Conducteurs en équilibre électrostatique

Un conducteur d’électricité est un matériau dans lequel une charge peut se déplacer librement. Ce sont des substances qui possèdent des charges libres qui peuvent se déplacer dans le matériau conducteur. Dans les matériaux isolants (ou diélectriques) par contre, les charges sont liées aux molécules qui les constituent, elles ne peuvent donc pas se déplacer librement dans le matériau sauf pour de petits déplacements.

Comme une charge peut se déplacer librement dans un conducteur, elle subira une force si elle se trouve dans d’un champ électrique:

Dans des conditions d’équilibre électrostatique, lorsque l’on place un matériau conducteur (par exemple la plaque de la figure ci-dessous) dans un champ électrique externe, les électrons de la plaque subissent une force de sens opposé à celui du champ électrique. Le côté droit de la plaque aura par conséquent un excès de charges négatives et le côté gauche un excès de charges positives:

Mais les charges positives sont sources de lignes de champ et les négatives des puits, un champ électrique (représenté en bleu dans la figure) apparaitra par conséquent à l’intérieur du conducteur.

Nous étudions ici le comportement du conducteur en équilibre électrostatique. Dans ces conditions, il ne peut pas y avoir de mouvement des charges (sinon le conducteur ne serait pas en équilibre), par conséquent le champ interne doit compenser le champ externe de tel façon que le champ à l’intérieur du conducteur soit nul. Ce phénomène est connu comme cage de Faraday.

La charge d’un matériau conducteur s’accumule par conséquent sur sa surface externe et le champ à intérieur du conducteur est nul:

Dans un équilibre électrostatique, les lignes de champ électrique à l’extérieur du conducteur doivent être perpendiculaires à sa surface; si ce n’était pas le cas, elles auraient une composante tangentielle à la surface qui exercerait une force sur les charges, celles-ci se déplaceraient et le conducteur ne serait donc plus en équilibre.

La norme du champ électrique à l’extérieur du conducteur est déterminée en utilisant le Théorème de Gauss:

Le flux du champ électrique à travers de n’importe quelle surface fermée est égal à la charge nette q contenue dans le volume délimité par cette surface divisée par la permittivité du vide ε₀.

La surface de Gauss (par exemple un cylindre ou un parallélépipède) à travers laquelle nous allons calculer le flux du champ électrique est représentée en rouge en pointillés dans la figure ci-dessous. La seule face de cette surface pour laquelle le flux n’est pas nul est celle de gauche, car comme vous pouvez l’observer dans la figure, aucune ligne de champ ne passe par les autres.

D’autre part, le champ électrique est parallèle au vecteur dS, et sa norme a la même valeur pour tous les points de cette face, le flux est donc:

En utilisant la définition de la densité surfacique de charge on a:

La norme du champ électrique sur la surface externe du conducteur est:

La norme du champ à l’extérieur du conducteur est le double de celle d’un plan infini chargé car, dans ce cas, il y une charge (et par conséquent un champ électrique) des deux côtés du plan.

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Lorsque qu’un conducteur a une forme arbitraire, la densité surfacique de charge σ aura une valeur différente qui dépendra de la courbature des différentes zones du conducteur. Mais l’expression précédente reste valide pour chaque élément de surface suffisamment petit pour être considéré comme approximativement plat comme vous pouvez le voir dans la figure ci-dessous:

La surface d’un conducteur en équilibre électrostatique est une surface équipotentielle. Si ce n’était pas le cas, il y aurait des mouvements de charge, car le travail pour déplacer une charge d’un point à un autre de la surface ne serait pas nul.

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