Le théorème de Gauss est une autre forme d’exprimer la loi de Coulomb qui permet de déterminer la force entre deux charges ponctuelles ou le champ électrique créé par une charge ponctuelle. Il s’utilise pour calculer le champ électrique créé par une distribution continue de charge avec un niveau de symétrie élevé lorsqu’il serait difficile de résoudre le problème en calculant le champ créé par un élément de charge avant de l’intégrer pour toute la distribution.
Le théorème Gauss est basé sur le concept de flux de lignes de champ Φ, qui est défini comme le nombre de lignes de champ qui traversent une surface déterminée.
La question qui se pose alors est: comment peut-on “compter” les lignes de champ qui traversent une surface?
Un champ quelconque est représenté en vert dans la figure ci-dessous. Comme vous pouvez l’observer, le nombre de lignes de champ qui traversent une surface (un plan en rouge dans cet exemple) dépend de l’orientation de la surface par rapport aux lignes de champ. Dans la situation représentée dans la figure, aucune ligne de champ ne traverse la surface dans la situation (a), mais si on incline la surface, le nombre de ligne de champ qui la traverse augmente jusqu’à atteindre un maximum dans la situation (d).
Il faut aussi prendre en compte le sens des lignes de champ pour compter celles qui traversent une surface. Le flux à travers de la surface est par exemple nul dans la figure ci-dessous:
L’opération mathématique qui permet de « compter » le nombre de lignes de champ qui traversent une surface déterminé est le produit scalaire. Si nous représentons la surface par l’intermédiaire d’un vecteur dS perpendiculaire à la surface en tout point et dont la norme est l’aire de la surface, le flux du champ électrique est défini comme:
Dans les deux exemples précédents, le vecteur perpendiculaire à la surface a toujours la même orientation (car elle est plane). Cependant, dans le cas général, le vecteur dS sera différent en chaque point. Pour calculer le flux à travers d’une surface quelconque, on la décompose en éléments de surface, on calcule le flux à travers de chacun de ces éléments puis on fait la somme de toutes ces contributions. C’est pour cela que la définition du flux inclut une intégrale (ou, et c’est la même chose, une somme).
En appliquant la définition du produit scalaire on a:
Si l’on regarde maintenant la figure (a), lorsque l’angle formé par E et dS est de 900, son cosinus est nul et par conséquent le flux qui traverse la surface est nul. Lorsque l’angle entre les deux diminue, le cosinus augmente jusqu’à ce qu’il atteigne son maximum dans la situation représentée dans la figure (d), lorsque le cosinus vaut 1 et que le flux à travers de la surface est maximum.
Théorème de Gauss
Le flux du champ électrique à travers de n’importe quelle surface fermée est égal à la charge nette q contenue dans le volume délimité par cette surface divisée par la permittivité du vide ε0.
La surface fermée au travers de laquelle on calcule le flux du champ électrique est appelée une surface de Gauss.
Nous allons démontrer le théorème de Gauss pour le cas d’une charge ponctuelle. Supposons que nous ayons la charge ponctuelle positive représentée dans la figure ci-dessous avec les lignes de champ électrique qu’elle crée.
Nous avons représenté en rouge une sphère de rayon r, qui sera la surface de Gauss au travers de laquelle nous calculerons le flux du champ électrique. Comme vous pouvez le constater sur la figure, le nombre de lignes de champ qui traversent la sphère (le flux) est le même indépendamment de sa position. Nous allons calculer le flux de la situation (a) de la figure, lorsque la sphère est centrée à la position de la charge. Le flux, dans ce cas est:
D’autre part, comme vous pouvez le voir sur la figure, le vecteur dS est parallèle à ur en tout point de la sphère. Nous pouvons donc l’écrire comme:
Après avoir substitué dans l’expression du flux et en intégrant nous obtenons:
Le théorème de Gauss est vrai indépendamment de la forme de la surface de Gauss. L’important c’est qu’elle soit fermée. Vous pouvez le constater dans la figure ci-dessous: si nous enfermons la sphère dans une surface de Gauss de forme arbitraire, le nombre de lignes de champ qui traverse les deux est le même.
S’il y a plus d’une charge dans la surface de Gauss, le théorème de Gauss prend la forme suivante:
Où Σqi est la somme avec leurs signes des charges enfermées dans la surface de Gauss.
Regardez les pages ci-dessous pour voir comment appliquer le théorème de Gauss au calcul du champ électrostatique pour différentes distributions de charges.
