Théorème de Gauss - Champ créé par une boule chargée

Nous allons voir ici comment calculer la norme du champ électrique créé par une boule uniformément chargée en utilisant le théorème de Gauss. Le résultat doit être le même que celui obtenu en calculant le champ électrostatique créé par une boule chargée en utilisant la loi de Coulomb. Nous supposerons que la charge q de la boule est positive. Si elle était négative, la norme du flux serait la même mais les lignes de champ auraient le sens opposé.

Le théorème de Gauss  nous donne la valeur du flux d’un champ électrique à travers d’une surface fermée:

Où la somme du second membre est la charge totale contenue dans la surface.

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Pour appliquer le théorème de Gauss, nous devons tout d’abord dessiner les lignes du champ électrique créé par la distribution continue de charge, une boule uniformément chargé dans ce cas. Nous devons aussi choisir la surface de Gauss à travers de laquelle nous calculerons le flux du champ électrique.

La boule chargée (en vert), les lignes de champ électrique qu’elle crée et la surface de Gauss à travers de laquelle nous calculerons le flux du champ électrique sont représentées dans la figure ci-dessous. Comme nous allons calculer la norme du champ électrique à une distance R du centre de la boule chargée, la surface de Gauss sera une sphère de rayon R (en rouge dans la figure).

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Le flux à travers de la sphère est donné par:

Dans l’intégrale précédente, les vecteurs E et dS sont parallèles en chaque point de la surface de Gauss, et comme ils se trouvent tous à la même distance de la boule chargée, la norme du champ électrique sera la même pour tous. Nous pouvons donc la sortir de l’intégrale.

L’intégrale de dS est l’aire d’une sphère, par conséquent:

L’expression précédente est égale à celle du champ électrique créé par une charge ponctuelle. Par conséquent, le champ créé par une boule chargée est égale à celui créé par une charge q située en son centre.

Ce qui est bien le même résultat que celui obtenu en appliquant la loi de Coulomb pour calculer le champ électrostatique créé par une boule chargée.

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