Nous allons voir dans cette page comment calculer le champ électrostatique créé par une boule chargée en utilisant la loi de Coulomb.
Nous supposerons que la charge totale q de la boule est distribuée de façon homogène, et donc que sa densité volumique de charge ρ est constante. Nous supposerons d’autre part que la charge totale q de la boule est positive; si elle était négative, la seule chose qui changerait serait le sens des lignes de champs mais pas la norme du champ électrostatique.
Pour calculer le champ créé par une boule en un point P qui se trouve à une distance a>R de son centre (voir la figure), nous pouvons décomposer la boule en disques d’épaisseur dx, calculer le champ créé par chacun d’entre eux au point P puis faire l’intégrale pour toute la boule.
La norme du champ électrostatique créé par un disque chargé en un point P de son axe de symétrie est:
Où x est la distance depuis le centre du disque jusqu’au point P, R est le rayon du disque et σ sa densité surfacique de charge (consultez le lien précédent pour voir comment cette expression est déduite).
Nous allons adapter cette expression du champ électrostatique au cas de la boule représentée dans la figure ci-dessus. Tout d’abord, le disque avec lequel nous allons travailler a dorénavant un volume (car il a maintenant une épaisseur dx), ce que signifie que nous allons devoir utiliser sa densité volumique de charge ρ. Par conséquent, nous allons exprimer la densité surfacique de charge σ en fonction de ρ:
D’autre part, la distance entre le disque d’épaisseur dx et le point P est maintenant (a-x) au lieu de x, car nous avons centré la boule à l’origine des coordonnées (O).
Enfin, le rayon du disque est maintenant r (minuscule) (R majuscule est le rayon de la boule comme vous pouvez le voir dans la figure ci-dessus). La variable d’intégration est x, il faut donc écrire le rayon du disque en fonction de x:
Après avoir fait toutes ces substitutions dans l’expression du champ créé par un disque nous obtenons finalement:
Le champ total est l’intégrale suivante:
L’intégrale précédente est la somme de trois intégrales:
La première est triviale, pour résoudre les deux autres vous pouvez utiliser des outils mathématiques qui permettent de calculer des intégrales. Le résultats est:
Pour terminer, nous substituons la densité de charge ρ en fonction de la charge totale q:
Et en simplifiant nous obtenons:
Par symétrie, la norme du champ créé par une boule pour n’importe quel point de l’espace qui se trouve à une distance a de son centre est donné par l’expression ci-dessus. Par conséquent, le champ créé par une boule chargé est donné par:
L’expression ci-dessus est identique à celle du champ créé par une charge ponctuelle. Par conséquent, le champ créé par une boule est égale à celui créé par une charge q située en son centre.
Vous pouvez voir les lignes de champ électrique dans la figure suivante:
Le champ électrostatique créé par une boule peut aussi être calculé en utilisant le théorème de Gauss.
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