En esta página vamos a calcular el campo eléctrico creado por una esfera maciza cargada utilizando la ley de Coulomb.
Supondremos que la carga total q de la esfera maciza está distribuida homogéneamente, por lo que su densidad volumétrica de carga ρ es constante. Además supondremos que la carga q es positiva; si fuera negativa, lo único que cambiaría sería el sentido de las líneas de campo eléctrico, pero no su módulo.
Para calcular el campo que crea la esfera maciza en un punto P que se encuentra a una distancia a>R de su centro (ver figura), podemos descomponer la esfera maciza en discos de espesor dx, calcular el campo que crea cada uno de ellos en el punto P y después integrar para toda la esfera.
El módulo del campo eléctrico creado por un disco cargado en un punto P de su eje de simetría viene dado por:
Donde x es la distancia desde el centro del disco hasta el punto P, R el radio del disco y σ su densidad superficial de carga (consulta el enlace anterior para ver la deducción de esta expresión).
Vamos a adaptar esta expresión del campo eléctrico al caso de la esfera maciza representada en la figura superior. En primer lugar, el disco con el que vamos a trabajar ahora tiene volumen (ya que tiene un espesor dx), por lo que debemos trabajar con su densidad volumétrica de carga ρ. Por tanto expresamos la densidad superficial de carga σ en función de ρ:
Además, la distancia entre el disco de espesor dx y el punto P es ahora (a-x) en vez de x, ya que hemos centrado la esfera en el origen de coordenadas (O).
Por otra parte, el radio del disco es ahora r (minúscula) (R mayúscula es el radio de la esfera como se observa en la figura superior). La variable de integración es x, por lo que debemos escribir el radio del disco en función de x:
Y haciendo todas estas sustituciones en la expresión del campo creado por un disco obtenemos finalmente:
Y el campo total es la integral:
La integral anterior es la suma de tres integrales:
La primera es trivial y, para resolver las otras dos puedes utilizar cualquier app que te permita hacer integrales. El resultado es:
Por último sustituimos la densidad de carga ρ en función de la carga total q:
Y simplificando,
Por simetría, el módulo del campo creado por la esfera en cualquier punto del espacio que esté a una distancia a de su centro vendrá dado por la expresión anterior. Por tanto, el campo creado por una esfera maciza cargada viene dado por:
La expresión anterior es idéntica a la del campo creado por una carga puntual. Por tanto, el campo creado por la esfera maciza es igual al que crearía la carga q colocada en su centro.
En la figura siguiente puedes ver las líneas de campo eléctrico:
El campo eléctrico creado por una esfera maciza puede calcularse también utilizando la ley de Gauss.
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