Campo eléctrico creado por un anillo, un disco y un plano infinito

En esta página vamos a calcular el campo creado por un disco cargado en un punto de su eje de simetría. Supondremos que la carga está distribuida homogéneamente, por lo que su densidad superficial de carga σ es constante. Supondremos también que la carga total q del disco es positiva; si fuera negativa, el vector campo eléctrico tendría el mismo módulo pero sentido contrario que el que vamos a calcular.

Como veremos más adelante, el campo creado por un plano infinito cargado es un caso particular del campo creado por el disco.

Campo eléctrico creado por un anillo

Como paso previo vamos a calcular el campo eléctrico creado por un anillo cargado positivamente en un punto P de su eje de simetría que se encuentra a una distancia x del anillo (ver figura inferior). La carga total del anillo es q y su radio es R’.

En primer lugar vamos a considerar el elemento de carga dq (representado en rojo en la figura) que se encuentra a una distancia r del punto P. Este elemento de carga puede ser considerado como una carga puntual, por lo que el campo que crea en el punto P es:

Y el campo total creado por el anillo se calcula mediante la integral:

Antes de calcular la integral es conveniente analizar previamente el problema para ver si puede ser simplificado utilizando consideraciones de simetría.

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En el dibujo siguiente está representado el campo eléctrico dE creado por el elemento de carga dq así como el que crea otro elemento de carga igual pero diametralmente opuesto. Como el anillo está cargado positivamente, dq es una fuente de líneas de campo, por lo que dapunta en ambos casos hacia afuera del anillo. Además, el campo eléctrico cumple el principio de superposición, por lo que el campo total en el punto P será la suma del campo creado por ambos elementos de carga:

Al sumar vectorialmente ambos campos dE la componente vertical se anula como se observa en la figura superior. Y el mismo argumento es válido para todos los elementos de carga y sus diametralmente opuestos, por lo que el módulo del campo total será la integral de las proyecciones sobre el eje horizontal de dE. El módulo del campo eléctrico creado por el anillo en el punto P será por tanto:

Donde la integral se evalúa sobre todo el anillo.

De la figura se observa que el coseno del ángulo α y r vienen dados respectivamente por:

Y sustituyendo,

La expresión anterior nos va a permitir calcular el campo eléctrico creado por un disco cargado.

Finalmente, integramos para calcular el campo creado por el anillo en el punto P:

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Campo eléctrico creado por un disco

Consideremos el disco de radio R representado en la figura inferior. La carga total del disco es q, y su densidad superficial de carga (que supondremos constante) es σ. Para calcular el campo que crea en un punto P de su eje de simetría, vamos a considerar un elemento de carga dq que tiene la forma de una corona de radio R’ y espesor dR’:

El campo eléctrico creado dEx por el elemento de carga es idéntico al creado por un anillo que hemos calculado un poco más arriba:

Para calcular el campo total creado por el disco debemos integrar la expresión anterior a toda la distribución de carga. Para ello debemos escribir dq de tal modo que podamos resolver la integral y para ello utilizamos la definición de densidad superficial de carga:

Donde 2πR’dR’ es el área de la corona circular representada en la figura anterior.

Y sustituyendo en la expresión del campo dEx y simplificando:

Finalmente, resolviendo la integral obtenemos:

Campo eléctrico creado por un plano infinito cargado

Un plano infinito es un caso particular de un disco cuando el radio R del disco tiende a infinito (R → ∞)

Haciendo el límite cuando R → ∞ del campo creado por un disco obtenemos:

El módulo del campo eléctrico creado por un plano infinito puede calcularse también aplicando la ley de Gauss.

La página Campo eléctrico creado por un anillo, un disco y un plano infinito ha sido originalmente publicada en YouPhysics