Champ électrostatique créé par un cercle, un disque et par un plan infini

Nous allons voir dans cette page comment calculer le champ électrostatique (ou électrique) créé par un disque en un point de son axe de symétrie. Nous supposerons que la charge est distribuée de façon homogène, et donc que sa densité surfacique de charge σ est constante. Nous supposerons aussi que la charge totale q du disque est positive; si elle était négative, le champ électrostatique aurait la même norme mais serait de sens opposé à celui que nous allons calculer.

Comme nous le verrons plus loin, le champ créé par un plan infini chargé est un cas particulier du champ créé par le disque.

Champ électrostatique créé par un cercle

Nous allons tout d’abord calculer le champ électrostatique créé par un cercle chargé positivement pour un point P de son axe de symétrie qui se trouve à une distance x du cercle (voir la figure ci-dessous). La charge totale du cercle est q et son rayon est R’.

Dans un premier temps, nous allons considérer un élément de charge dq (représenté en rouge dans la figure) qui se trouve à une distance r du point P. Cet élément de charge peut être considéré comme étant une charge ponctuelle, le champ qu’il crée pour le point P est donc:

Et le champ total créé par le cercle se calcule en faisant l’intégrale:

Avant de calculer l’intégrale, il est intéressant d’analyser le problème pour voir si il peut être simplifié en utilisant des symétries.

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Le champ électrostatique dE créé par un élément de charge dq ainsi que celui créé par un autre élément de même charge mais diamétralement opposé sont représentés dans la figure suivante. Comme le cercle est chargé positivement, dq est une source de lignes de champ et donc dE pointe dans les deux cas vers l’extérieur du cercle. D’autre part, comme le principe de superposition s’applique au champ électrostatique, le champ total au point P sera la somme des champs créés par les deux éléments de charge:

Lorsque l’on fait la somme vectorielle des deux champs dE, la composante verticale s’annule comme vous pouvez l’observer dans la figure ci-dessus. Ce même argument est valable pour tous les éléments de charge et ceux qui leurs sont diamétralement opposés. La norme du champ total sera donc l’intégrale des projections sur l’axe horizontal de dE. La norme du champ électrostatique créé par le cercle pour le point P est par conséquent:

Où l’intégrale est évaluée pour tout le cercle.

À partir de la figure, on peut observer que le cosinus de l’angle α et la distance r sont respectivement:

Et en faisant la substitution on obtient:

Cette expression nous permettra de calculer le champ électrostatique créé par un disque chargé.

Pour finir, nous intégrons pour calculer le champ créé par le cercle au point P:

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Champ électrostatique créé par un disque

Considérons le disque de rayon R représenté dans la figure ci-dessous. La charge totale du disque est q, et sa densité surfacique de charge (que nous supposerons constante) est σ. Pour calculer le champ qu’il crée en un point P de son axe de symétrie, nous allons considérer un élément de charge dq qui a la forme d’un anneau de rayon R’ et d’épaisseur dR’:

Le champ électrostatique dEx créé par l’élément de charge est identique à celui créé par un cercle que nous avons calculé plus haut:

Pour calculer le champ total créé par le disque nous devons intégrer l’expression précédente pour toute la distribution de charge. Nous devons écrire dq de telle façon que nous puissions résoudre l’intégrale et nous utiliserons pour ce faire la définition de densité surfacique de charge:

Où 2πR’dR’ est l’aire de l’anneau circulaire représenté dans la figure précédente.

En substituant dans l’expression du champ dEx et en simplifiant nous obtenons:

Finalement en résolvant l’intégrale nous obtenons:

Champ électrostatique créé par un plan infini chargé

Un plan infini est un cas particulier d’un disque lorsque el rayon R du disque tend vers l’infini (R → ∞)

En faisant la limite du champ créé par un disque lorsque R → ∞, nous obtenons:

La norme du champ électrostatique créé par un plan infini peut aussi être calculée en appliquant le théorème de Gauss.

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