Flujo del campo eléctrico. Ley de Gauss

La ley de Gauss es otra forma de expresar la ley de Coulomb que da la fuerza entre dos cargas puntuales o bien el campo eléctrico creado por una carga puntual. Se utiliza para calcular el campo eléctrico que crea una distribución continua de carga con un alto grado de simetría donde resulta complicado abordar el problema calculando el campo creado por un elemento de carga y después integrando a toda la distribución.

La ley de Gauss está basada en el concepto de flujo de líneas de campo Φ, que se define como el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie.

La pregunta es entonces, ¿cómo podemos “contar” las líneas de campo que atraviesan una superficie?

En la figura inferior se ha representado en verde un campo eléctrico cualquiera. Como se observa en la figura, el número de líneas de campo que atraviesan una superficie (en nuestro ejemplo es un plano) depende de la orientación de la superficie con respecto a las líneas de campo.  En la situación representada en la figura, en (a) ninguna línea de campo atraviesa la superficie; si la inclinamos el número de líneas que la atraviesan va aumentando hasta tomar su valor máximo en (d).

Además, para contar las líneas de campo que atraviesan una superficie debemos tener en cuenta el sentido que tienen las líneas de campo. El flujo a través de la superficie representada en la figura interior es cero:

La operación matemática que permite “contar” el número de líneas de campo que atraviesan una determinada superficie es el producto escalar. Si representamos la superficie mediante un vector dS perpendicular a la misma en cada punto y cuyo módulo es el área de la superficie, el flujo del campo eléctrico se define como:

En los dos ejemplos anteriores el vector perpendicular a la superficie (plana) tiene siempre la misma orientación. Sin embargo, en una situación general el vector dS será diferente en cada punto. Para calcular el flujo a través de una superficie cualquiera esta se descompone en elementos de superficie, se calcula el flujo a través de cada uno de estos elementos y después se suman todas las contribuciones. Por esta razón la definición de flujo incluye una integral (o lo que es lo mismo, una suma).

Aplicando la definición de producto escalar:

Observando ahora la primera figura (a), cuando el ángulo que forman E y dS es 900, su coseno es cero y por tanto el flujo a través de la superficie es cero. Conforme el ángulo entre ambos va disminuyendo, su coseno aumenta, hasta llegar a la situación representada en (d), donde el coseno es 1 y por tanto el flujo a través del plano es máximo.

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Ley de Gauss

El flujo del campo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta q contenida dentro de la superficie, dividida por la permitividad eléctrica ε0.

La superficie cerrada a través de la cual se calcula el flujo del campo eléctrico se denomina superficie gaussiana.

Vamos a demostrar la ley de Gauss para el caso de una carga puntual. Supongamos que tenemos la carga puntual positiva representada en la figura inferior junto con las lineas del campo eléctrico que crea.

En rojo se ha representado una esfera de radio r, que va a ser la superficie gaussiana a través de la cual calcularemos el flujo del campo eléctrico. Como se observa en la figura, el número de líneas de campo que atraviesan la esfera (flujo) es el mismo con independencia de su posición. Vamos a calcular el flujo en la situación (a) de la figura, con la esfera centrada en la posición de la carga. En este caso, el flujo viene dado por:

Además, como se observa en la figura, el vector dS es en cada punto de la esfera paralelo a ur. Por tanto podemos escribirlo como:

Y sustituyendo en la expresión del flujo en integrando obtenemos:

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La ley de Gauss se cumple con independencia de la forma que tenga la superficie gaussiana. Lo importante es que sea cerrada. En la figura inferior se observa que si encerramos la esfera con una superficie gaussiana de forma arbitraria, el número de líneas de campo que atraviesan ambas superficies es el mismo.

Si dentro de la superficie gaussiana hay más de una carga, la ley de Gauss toma la forma:

Siendo Σqi la suma con su signo de las cargas encerradas por la superficie gaussiana.

Pincha los enlaces inferiores para cómo se aplica la ley de Gauss al cálculo del campo eléctrico de distintas distribuciones de carga.

La página Flujo del campo eléctrico. Ley de Gauss ha sido originalmente publicada en YouPhysics

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